對“將軍飲馬”問題解決的思考和拓展

潛宗武

【摘要】本文認為將軍飲馬的問題就是利用軸對稱變換改變線段的位置，從而達到利用“兩點之間線段最短”來求最小值的問題，接下來作者又介紹了利用平移、旋轉、相似變換移動線段用類似方法求最小值的例子，特別是利用相似變換求最小值的例子是本文的亮點.最后，本文還將文中例子升華，找到了一類最小值問題和光的反射、折射路線的關系.

一、“將軍飲馬”問題解決的本質是軸對稱變換的應用

“將軍飲馬”的故事大家都非常熟悉，它可以轉化為下面的數學模型.

問題1如圖所示，A，B表示直線l外兩個定點，P為直線l上的任意一點，連接AP，BP，問P在什么位置，能使（AP+BP）最小？

這個問題的解決主要分兩步：

第一步用軸對稱變換轉移線段AP到CP，把AP+BP最小的問題轉化為CP+BP最小.

第二步用“C，B兩點間線段最短”解決問題.類似的題目教材上還有一個，見問題2.

問題1圖

問題2圖

問題2如圖，村莊A，B在小河（假定河寬處處相等）的兩邊，現在兩個村莊間修一條公路，河上要架橋，橋和河岸垂直.請你設計修路方案，使得公路的總長度最短？

本題的解決也分兩步，第一步平移AM到CN，因為河寬處處相等，問題就轉化為CN+BN最小的問題，第二步用“C，B兩點間線段最短”解決問題.

上面兩個問題來自教材，從圖形變換的思路來研究問題，不僅使思路簡捷，更為我們解決類似問題提供了方法.

二、利用相似變換解決一類求最值的例子

問題3如圖所示，小明在河岸上A處發現河中B處有一個人在喊救命，小明先沿河岸跑一段到C，然后徑直游到B處.已知BP⊥AP，BP=5米，AP=10米，如果救人者在岸上跑步的速度為5米/秒，在水中的速度為1米/秒，想要最快到B處，求最短時間？

分析本題實際上求AC5+BC的最小值，不是簡單的兩條線段的和，表面上只能用代數方法了，但是也有類似的解答：

如圖所示，作∠FAC=arcsin15，CD⊥AF于D，則CD=AC5.移動C點，由相似或者三角函數的知識始終有CD=AC5，這樣AC5+BC=BC+CD，因為CD⊥AF，所以當B，C，D三點共線時，同時有BD⊥AF，根據垂線段最短，可以說明此時AC5+BC最小.

本題如果選用代數方法，會相當復雜，這里巧妙應用相似變換使問題解決的相當精彩，當然這一思路的形成來自于前面兩個問題的反思，也許大家會想到中學還有個旋轉變換，關于這方面的例子請大家參考費馬點，這里不再贅述，因為我在進行這方面思考時有了新的發現.

三、科學中光的反射、折射路線和這類最小值問題的關系

問題4如圖所示，DP表示河岸，小明在河邊的廣場上A處發現河中B處有一個人在喊救命，小明先在廣場上跑一段到河邊C點，然后跳進河里游到B處.已知B到河邊的距離BP=5米，A到河邊的距離AD=4米，DP=10米，如果救人者在陸地上的速度為5米/秒，在水中的速度為1米/秒，要最快到B處，求最短時間？

分析本題就是問題3的拓展，更有實際意義，而實際上“將軍飲馬”問題中，如果飲馬前后的速度不一樣，也是一樣的問題.讀到這里大家一定希望看到類似的簡捷解法，但是筆者能力有限，要讓您失望了，我決定用代數方法先找到答案.

解設CP=x，則CD=（10-x）.所花時間用y表示.

y=42+（10-x）25+x2+52，求其導函數：

y′=x-10542+（10-x）2+xx2+25.

令y′=0，得x-10542+（10-x）2+xx2+25=0，

即10-x542+（10-x）2=xx2+25.

這個方程可以解，但是意義不大，我發現這其實就是：CD5AC=CPBC，再清楚點作EF⊥CP于點C，得到sin∠ACEsin∠BCF=51，也就是說滿足這個條件時，所花的時間最少.這是什么結論？我們先看物理中光的折射定律：入射角和折射角的正弦值之比等于光在兩種介質中的速度比.

看來，應該走光的折射路線啊！這使我一下子想到了問題1，問題1的解決不正是光的反射路線圖嗎？只不過問題1中，速度一樣，相當于光在同一種介質中傳播，而問題6由于速度不一樣，則相當于光在不同介質中傳播，相同點是，光的路線就是時間最短的路.

不過遺憾的是，限于本人水平有限，還沒能將問題徹底解決，還希望讀到本文的您多多指教，不勝感激！