線段公理在代數(shù)中的應(yīng)用

李中文

線段公理（兩點間線段最短）在平面幾何中的應(yīng)用是眾所周知的.本文僅談一談它在研究和解決代數(shù)問題中的應(yīng)用.

請看一個解析幾何問題.設(shè)A（a，b），B（c，d）是坐標(biāo)平面上的兩點，其中b>0，d>0.試在x軸上找一點，使它到A，B兩點的距離的和最小；或到A，B兩點的距離的差最大.如圖所示，設(shè)M（x，0）是x軸上的任一點，B1（c，-d）是點B關(guān)于x軸的對稱點，M到A，B兩點的距離的和為|MA|+|MB|.由線段公理可知|MA|+|MB|=|MA|+|MB1|≥|AB1|，當(dāng)且僅當(dāng)M在A，B1的連接線上P點位置時，上式等號成立.

∵P（x，0）在A，B1的連接線上，∴ba-x=dx-c.

于是，有結(jié)論Ⅰ：

（x-a）2+b2+（x-c）2+d2

≥（a-c）2+（b+d）2.（﹡）

當(dāng)且僅當(dāng)x=bc+add+b時，（﹡）式中的等號成立，即此時M到A，B兩點的距離的和最小.

又M到A，B兩點的距離的差是||MA|-|MB||.

同理，||MA|-|MB||≤|AB|，

當(dāng)且僅當(dāng)M在AB的延長線上的N點位置時（如上圖所示），等號成立.

∵N（x，0）在AB延長線上，∴bx-a=dx-c.

從而有結(jié)論Ⅱ：|（x-a）2+b2-（x-c）2+d2|≤（a-c）2+（b-d）2，（﹡﹡）

當(dāng)且僅當(dāng)x=bc-adb-d（b≠d）時，（﹡﹡）式中的等號成立，即此時M點到A，B兩點的距離的差最大.

可以證明，上述結(jié)論及公式對任意a，b，c，d都成立.

上面的結(jié)論，應(yīng)用頗多.請看以下例子：

例1解方程|4x2+4x+26-x2+4x+20|=x2-2x+2.

解由公式（﹡﹡）得

|4x2+4x+26-x2+4x+20|

=|（2x+1）2+52-（x+2）2+42|

=|[x-（-1-x）]2+52-[x-（-2）]2+42|

≤[（-1-x）-（-2）]2+（5-4）2

=x2-2x+2.

由結(jié)論Ⅱ可知，要上式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=5×（-2）-（-1-x）×45-4=-6+4x，解此方程，得x=2，故x=2是此方程的解.

例2a，b是小于1的正數(shù)，求證

a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，上式等號成立.

證明由公式（﹡）a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥（0-1）2+（b+1-b）2=2.

再由結(jié)論Ⅰ得，當(dāng)且僅當(dāng)（1）：a=b×1+0×（1-b）b+（1-b）=b時等號成立.同理有（1-a）2+b2+a2+（1-b）2≥（1-0）2+（b+1-b）2=2，當(dāng)且僅當(dāng)（2）：a=1×（1-b）+b×0b+（1-b）=1-b時，等號成立.

綜上所述，有a2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥22.

聯(lián)立（1）（2）解方程組可知，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，上式等號成立.證畢.

例3在寬為2千米的河的兩岸，各有一點（記為A，B），它們各自離岸邊3千米.已知A，B間的距離為10千米，有一人在陸地上行走速度為10千米/時，在水中游泳速度為1千米/時，問此人游泳的起點應(yīng)在河岸何處，才能使這個人由A到B的時間最短？

解因為陸上的行走速度是游泳速度的10倍，故此人游泳的距離最短為宜，即應(yīng)垂直河岸游去.如圖所示，設(shè)E為下水點，CE=x，則

AE=x2+32，

AN=AC+CM+MN=3+2+3=8，

∴BN=AB2-AN2=102-82=6，于是DF=6-x，

BF=DF2+BD2=（6-x）2+32.

設(shè)由A到B所用時間為T（x），由題意有

T（x）=2+110[x2+32+（6-x）2+32].

由結(jié)論Ⅱ可知，當(dāng)x=0×3+3×63+3=3時，Τ（x）達(dá)到最小值，此x即為所求.

故，此人游泳時的起點應(yīng)在距離C點3千米處，才能使這個人由A到B所用時間最短.

以上數(shù)例可看出，利用線段公理推出的兩個解析幾何結(jié)論與公式去解決代數(shù)問題，方法巧妙，且可大大簡化求解過程.