相似三角形與動點問題

張升

【基金項目】甘肅省“十三五”教育科學規劃2016年度《初中數學動點問題分析研究》課題（課題立項號：GS[2016]GHB0653）成果.

所謂“動點問題”是指題設圖形中，存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜，在變化中找到不變的性質.下面通過具體的例子說明.

例1如圖1所示，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6），B（8，0），動點P從A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O運動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動.設點P，Q運動的時間為t秒.當t為何值時，△APQ與△AOB相似，并求出此時點P的坐標.

解∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8.

在Rt△AOB中，AB=62+82=10.

由題意可知AP=t，AQ=10-2t，

① 如圖1所示，∠APQ=∠AOB，△APQ∽△ABC.

∴APAO=AQAB，即t6=10-2t10.

解得t=3011，即AP=3011.

∴PO=AO-AP=6-3011=3611，即P0，3611.

② 如圖2所示，當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB.

∴APAB=AQAO，即t10=10-2t6，解得t=5013，即AP=5013.

∴PO=AO-AP=6-5013=2813，即P0，2813.

綜上所述P0，3611或P0，2811.

例2如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，AC∶BC=4∶3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1 cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2 cm/s，當一個動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動.設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

圖3

圖4

解設AC=4x，BC=3x.

在Rt△ABC中，由勾股定理知AC2+BC2=AB2，

即（4x）2+（3x）2=102，解得x=2，

所以AC=8 cm，BC=4 cm.

① 如圖3所示，當Q在邊BC上運動時，過Q作QH⊥AB于H.

由題可知AP=x，則BP=10-x，BQ=2x.

∵QH⊥AB，∴∠QHB=90°，∴∠QHB=∠C.

∵∠B=∠B，∴△QHB∽△ACB.

∴QHAC=QBAB，即QH8=2x10，故QH=85x.

∴S△PBQ=y=12BP·QH=12（10-x）·85x

=-45x2+8x（0

② 如圖4所示，當點Q在邊CA上運動時，過Q做QH′⊥AB于H′.

∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x.

∵QH′⊥AB，∴∠QH′A=90°，∴∠QH′A=∠C.

∵∠A=∠A，∴△AQH′∽△ABC.

∴AQAB=QH′BC，即14-2x10=QH′6，

解得QH′=35（14-2x）.

∴y=12PB·QH′=12（10-2x）·35（14-2x）

=35x2-515x+42（3

綜上所述，y與x的函數關系式為

y=-45x2+8x（0