數形結合巧解分段函數問題

胡黨琴

【摘要】在高中數學的教學中，函數是非常重要的一部分，對高中生來說是重難點問題，數形結合是一種非常重要的思維方式，能夠在解析分段函數的問題時有很大的幫助作用.利用數形結合的思維方式巧解分段函數問題，是我們本文要分析和探討的問題.

【關鍵詞】數形結合；分段函數；思維方式

分段函數是高等數學理論中的一個重要的知識點，一般學習函數中的積分、導數等方面都會涉及分段函數，分段函數的學習具有一定的難度，因此，也是教師和學生值得研究的問題.本文將對數形結合的思維方式加以簡單的介紹，并且對于數形結合對于解決分段函數的難題加以例證，通過數形結合可以完成分段函數的學習.

一、數形結合思想

高中數學教學過程中，數形結合是一種重要的思維方式，并且廣泛的運用于學習中，這種思維方式能讓學生好理解、易接受.數一般指的是數量關系，而形代表的是空間圖形體現.二者相互依存，在一定條件下也可以相互轉化.根據數形結合，我們能夠將比較難的問題加以直觀的分析，化繁為簡利于學習.通過數形結合的方式，能夠將一些數量關系直接轉換為圖形進行分析以及研究，不僅解決了一些復雜的難題，同時對高中數學教師教學方式也有一定幫助.

二、利用數形結合思想巧解分段函數的途徑

（一）利用直觀圖

在學習數學過程中，一般遇到的多數都是數字或者是很多的方程式等，數形結合的方法開辟了新的途徑，也就是利用圖像的作用，將數量關系直接反映在圖像當中，圖形作為一種直觀的語言，可以加深對于分段函數解析的印象，一般的圖形較之于語言來說比較直觀好理解，這種方式廣泛應用于當前高中生學習分段函數的過程中，能夠有效提高學生的學習效率和效果.

（二）利用多種語言表達方式進行轉換

在分段函數教學時，我們一般可以選擇三種語言形式，也就是基本的符號、文字和圖像形式.在不同的問題中，我們可以充分考慮到一些特點，根據需要來選擇不同的語言形式，來幫助更好的解析函數問題.當語言形式在轉換時也能促進學生的思考，換一個方向進行解析，能夠使思維活躍，不至于執著于一個解題思路而無法得出結論.

三、利用數形結合思想巧解分段函數的方法

（一）在利用數形結合的過程中需要掌握一定的基本方法，在解決一般的分段函數問題時，要注意能夠讓學生將圖形進行一個基本的模擬畫，千萬不能馬虎，否則雖然是利用了圖像的功能，卻容易導致算錯題.所以說數和形的結合需要準確且相互配合，才能真正做到解決分段函數問題.如下題所示：

例1設f（x）為定義域在R上的偶函數，當x≤-1時，f（x）的圖像是過點（-2，0），斜率為1的射線.又在的圖像中有一部分是過頂點在（0，2），且過點（-1，1）的一段拋物線，試寫出函數f（x）解析式，并作出其圖像.

解當x≤-1時，由條件得f（x）=x+2；當x≥1時，由條件得f（x）=-x+2；當-1≤x≤0時，由條件可設f（x）=ax2+2，由于拋物線過點（-1，1），故1=a+2，即a=-1，此時f（x）=-x2+2；當0≤x≤1時，f（x）=f（-x）=-x2+2.又當x=-1時，x+2=-x2+2，

當x=1時，-x+2=-x2+2.

所以f（x）=-x2+2，-1

（二）在解析分段函數的過程中可以使用一定的分類討論方法，數形結合同時也要進行細節的分析，函數的變量問題以及變化的規律問題，都需要進行合理的推算，將函數的最大值和最小值以及每一段可能出現的情況列出來，然后呈現在圖像中，這種方式能讓每一道題目一目了然.

（三）分段函數也要注意整體性的考慮，當一個圖像被畫出來的時候，我們能夠直觀的分析這個函數的算法以及解決方式，在圖像的幫助下，更容易結合實際問題進行考慮.

例2市場上出現了一種新的藥品，實驗人員在驗藥的過程中發現，成人在規定的劑量服用藥品時，每毫升血液中含藥量y（毫克）隨時間x（時）的變化情況如圖所示，那么成人按規定劑量服藥后：（1）當0≤x≤2時，求y與x之間的函數關系式；（2）當2

在這種問題中我們就需要根據實際進行考慮，根據數形結合的方式，我們應該能夠清晰地看到不同情況下變量的關系也隨之發生了變化.學生需要根據具體的題目進行畫圖，并且需要根據圖形的分析來解決題目.

四、結論

分段函數是高中學習中的一種特殊的函數，其變量多樣性，問題的復雜性成為數學學習中的一個重難點，因此，在學習這個問題的同時，學生應該掌握相關的解題技巧，從多各方面進行問題的梳理，特別是從數形結合的角度進行研究，作為一種比較便利的解題方法，數形結合在高中生中受到了極大的歡迎，對于數學研究方面也是大有益處.因此，將數形結合的方法作為解決分段函數問題的主要方法是可行的.

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