立足數學本質深化函數意識提升思維能力

鄭婷

【摘要】在初中數學階段，“函數”對學生而言是抽象的，通過經歷探索實際問題中的數量關系和變化規律，由常量數學向變量數學過渡，體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型.

【關鍵詞】函數；有效性；數學思維

一、初中函數教學的重要意義

（一）初中函數在數學課程中的地位

函數是數學最重要的基本概念之一.它揭示了現實世界中數量之間相互依存變化對應的過程，是刻畫和研究客觀世界變化規律的重要模型.它研究變量，反映一個變化過程，由常量數學到變量數學是數學思維上的一次飛躍.

（二）初中函數的教學建議

1.立足函數概念核心，強化概念形成的生成過程

初中階段的函數概念是從運動變化的觀點引入，緊扣“變量”來描述函數，主要明確兩層含義：第一，兩個變量是互相聯系的，一個變量變化時，另一個變量也發生變化；第二，函數與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數的值是唯一確定的.

2.加強研究函數一般方法的指導

研究函數概念可以從五方面逐步滲透：① 概念的引入（從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要引入）；② 概念的形成（提供典型豐富的具體例證，概括其本質屬性）；③ 概念的明確（準確的數學語言描述概念的內涵與外延）；④ 概念的表示（用數學符號表示，這是數學概念的特色）；⑤ 概念的鞏固和應用[以實例（正反例）為載體分析關鍵詞的含義，應用概念作判斷].

因此，在教學過程中可以進行問題導向，用類比的方法研究幾個函數概念（一次函數、正比例函數、反比例函數、二次函數），同時加強研究方法的引導，對于學生理解相關概念可以起到事半功倍的效果.

3.滲透函數思想，用函數觀點上串下聯知識體系

由于函數具有多樣性的表現和變化性的過程等特點，所以結合函數觀點可以開拓研究方程和不等式的思路.這對理解他們的本質內涵和解決有關問題都是有益的，還可以使學生重新組合已有的認知結構，優化知識系統從而進一步加深對函數的認識.

二、蘇科版八（上）第六章第一課時“函數（1）”的教學案例探究

（一）教材分析

在此之前，學生已經初步學習了變量之間的關系，這個基礎為過渡到本節的學習起著鋪墊作用.本節課內容主要是進一步認識常量、變量，理解函數的概念，是認識函數的開始，為接下來學習一次函數和其他學科用圖像或者表格等內容打好基礎.

（二）學情分析

為了更深刻地認識千變萬化的世界，人們歸納總結出一個重要的數學工具——函數，用它描述變化中的數量關系.函數在現實生活中應用廣泛，學習掌握它很有必要.從本節課開始學習內容都是綜合運用函數知識來解決問題，因此，這個學習過程有難度.所以筆者認為要設計一些問題進行鋪墊，降低難度，引導學生先易后難逐步深化，讓基礎薄弱一些的學生也能有所收獲.

（三）“6.1函數（1）”具體教學設計

【教學目標】

1.知識與能力

（1）通過簡單實例，了解常量與變量的意義；

（2）通過實例讓學生多角度認識和理解函數的意義，感受函數的多種表示形式；

（3）能說出一些函數的實例，并能判斷兩個變量間的關系是否是函數關系.

2.過程與方法

經歷具體實例的抽象過程，進一步發展學生的抽象思維能力.

3.情感、態度與價值觀

學生從現實生活的體驗出發，激發學生對數學問題的興趣，使學生了解數學知識的功能與價值，形成主動學習的意識.

【教學重點】函數概念的建立，判斷兩個變量間的關系是否是函數關系.

【教學難點】函數概念中常量、變量的理解及其對應關系探索.

【教學過程】

1.問題情境與思考

情境一：汽車加油視頻

問題1：同學們，有沒有看過在加油站給汽車加油的過程？請同學們觀看給汽車加油的視頻.

問題2：這個加油過程中共涉及幾個量？

生：金額、油量、單價.

問題3：給汽車加油的過程中，對于這幾個量，你有什么發現？

生：單價不變，金額和油量在不斷變化.

引出常量、變量的概念：在一個變化過程中，數值保持不變的量叫作常量；可以取不同數值的量叫作變量.

【設計意圖】從生活實例出發結合加油視頻，展現幾個量的變化情況，設計明確的問題導向引發學生的不斷思考，激發學生的興趣，加深學生對這幾個量的認識.通過這個問題情境，一方面，引出常量與變量概念，另一方面，有意識滲透“在某一變化過程中”這個建立函數概念的前提條件，為分析變量之間的一種對應關系做準備.

問題4：在給汽車加油的過程中，有哪些變量？

生：金額和油量.

問題5：觀察一下：這兩個變量是如何變化的？

生：單價不變，油量變多，金額也變多了.

問題6：你能用一段話來描述這兩個變量之間的關系嗎？

總結出兩個變量之間的關系：油量在變化、金額也在變化；油量確定時，金額有唯一值與它對應.

【設計意圖】通過明確的多個問題引導學生認識和理解加油過程中兩個變量之間的一定關系.問題4讓學生認識到我們研究的兩個對象是某一變化過程中兩個變量；通過小組討論問題5引導學生理解兩個變量之間的關系；問題6引導學生用自己的話來總結描述兩個變量之間的關系，三個問題的環環相扣給學生研究變量間的對應關系有了一個初步的感受和體驗.

情境二：蘇州某日氣溫變化圖

問題1：在蘇州某日氣溫變化圖中，有哪兩個變量？

生：時間和氣溫.endprint

問題2：請描述在氣溫變化過程中，時間和氣溫這兩個變量之間的關系.

生：時間在變化、氣溫也在變化；時間確定時，氣溫有唯一值與它對應.

【設計意圖】通過觀察氣溫變化圖，再一次明確變化過程中的兩個變量，并能仿照加油過程兩個變量的變化過程自己準確描述天氣變化過程中兩個變量之間的對應關系，同時啟發學生感受圖像能清晰地刻畫兩個變量之間的關系，為后續函數三種表現形式的學習打下基礎.

情境三：觀察水庫的水位變化與水庫蓄水量變化圖

問題1：在水庫蓄水量變化過程中，有哪兩個變量？

生：水位和蓄水量.

問題2：請描述在水庫蓄水量變化過程中，水位和蓄水量這兩個變量之間的關系.

生：水位在變化、蓄水量也在變化；水位確定時，蓄水量有唯一值與它對應.

問題3：表格中未出現125 h/m的水位，那它有對應的蓄水量嗎？

生：有.

問題4：對應的蓄水量唯一嗎？

生：唯一.

【設計意圖】通過觀察水庫蓄水量變化過程，認識蓄水量變化過程中的兩個變量，并描述這一變化過程中兩個變量之間的關系，理解和感受變化過程中兩個變量之間的對應關系，同時引導學生感受表格清晰地揭示了兩個變量之間的關系，為后續函數三種表現形式的學習打下基礎.顯然，學生表述的時候越來越整齊，也越來越自信.

情境四：搭小魚的游戲

問題1：在搭小魚的游戲過程中，有哪兩個變量？

生：小魚的條數和火柴根數.

問題2：請描述在搭小魚的游戲過程中，小魚的條數和火柴根數這兩個變量之間的關系.

生：小魚條數在變化、火柴根數也在變化；小魚條數確定時，火柴根數有唯一值與它對應.

【設計意圖】通過觀察搭小魚的游戲過程，認識小魚的條數和火柴根數這兩個變量，并描述這一變化過程中兩個變量之間的關系，理解和感受變化過程中兩個變量之間的對應關系，同時引導學生感受函數表達式清晰地刻畫了兩個變量之間的關系，為后續函數三種表現形式的學習打下基礎.

2.建立數學模型

問題1：對于四個生活情境，你發現有哪些共同點？

生：在變化過程中都有兩個變量，這兩個變量之間有對應的關系.

問題2：那么同一情境中的兩個變量之間有什么聯系？

生：一個變量在變化、另一個變量也隨之在變化；當一個變量確定時，另一個變量有唯一值與它對應.

問題3：誰能說一說函數的概念？

引入函數概念：如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量.

問題4：我們對函數的概念有了一定的認識，誰能說一說在我們的生活中有關函數的例子？

生：比如，買香蕉……

【設計意圖】本節課基于四個生活情境，筆者通過問題導向引導學生不斷充分感受和理解一個變化過程中有兩個變量之間的對應關系，逐步讓學生在理解的基礎上歸納出函數的概念.在實際教學中，學生的回答往往不準確甚至錯誤百出，經過不斷地糾正，最終能形成最準確的表述.學生只有經歷了函數概念的生成過程，有了一定的學習經驗和體會，這樣的學習才會真正發生，才能激發出學習的潛力.筆者對于本節課采用的教學方法是實例引入、自主探究方式，根據學生的理解能力和生理特征，一方面，運用直觀形象的實例引起學生的興趣，使他們的注意力能始終集中在課堂中，另一方面，筆者通過問題串的形式創造條件和機會，讓學生小組交流合作，最大限度發揮學生的主動性，鍛煉學生基本數學素養.

1.反饋運用

（1）用一根長2 m的鐵絲圍成一個長方形.

① 當長方形的寬為0.1 m時，長為多少？

② 當長方形的寬為0.2 m時，長為多少？

③ 當長方形的寬為a cm時，長為多少？

④ 長方形的長是寬的函數嗎？為什么？

（2）下表中的y是x的函數嗎？為什么？

x12345

y±1±2±3±4±5

【設計意圖】這兩題主要鞏固學生對函數概念的理解.對學生來說判斷兩個量之間是否具有函數關系需要把握三點：一個變化過程、兩個變量、一種對應關系.

4.課堂小結

通過本節課的學習，你的收獲是什么？你的疑惑是什么？

【設計意圖】在獨立思考和合作交流中引導學生梳理本節課在知識和數學思想方法方面的收獲，在總結的同時讓學生體驗收獲知識的快樂.

5.教學反思

新課程標準中強調了概念教學的形成過程應由學生感悟自主生成，這就必然要求教師在教學過程中體現數學概念生成的合理性，在學習過程中突出學生的主體地位，引導學生在活動中感悟數學思想，不斷積累內化數學活動經驗.筆者選擇的四個問題情境都來源于生活，方便學生抽象出常量和變量的概念，有的情境以表格形式展現，有的情境以圖像形式展現，有的情境得出表達式，并且四個情境的整個變化過程中只有兩個變量，通過兩個變量的對應關系，學生逐步歸納本節課的重點函數的概念.整堂課下來筆者設計的每一個環節都體現了突出學生主體地位的意識，進而幫助學生學會用函數的思想認識事物運動變化的過程.同時，教師在整個教學過程中注意問題的導向性，及時糾錯，及時提煉與總結，在很大程度上發揮了學生的主觀能動性，有助于培養學生的思考能力和問題意識.然而，在教學過程中也有一些設計得不夠合理的地方，如：

（1）所提到的水位變化過程，情境的創設不夠直觀，給學生形象感知函數的變化關系增加了難度.

（2）汽車加油情境中對于兩個變量（油量和金額）之間的對應關系，學生一開始無法表述清楚甚至于準確，筆者應該再增加小組討論的時間，讓每名學生都有自己的想法并且表達出來，只有通過不斷的磨合糾正，學生才能真正理解為什么應該這樣表述“油量在變化、金額也在變化；油量確定時，金額有唯一值與它對應”，尤其是為什么能想到關鍵詞“確定”“唯一”，最后慢慢過渡到函數概念的關鍵詞“每一個值”“唯一”.

（3）在火柴棒搭小魚的情境中里面滲透已經學過的用字母表示數的知識點，但是學生花費的時間偏長.隨后學生揭示出函數的概念，筆者要求學生再舉一些生活中的例子，可以把水波紋的問題插入這個環節，加深對概念的理解，使得教學環節更加緊湊豐滿.

（4）在反饋運用環節中，第一個練習學生能夠通過算式或者函數表達式提出了2個變量之間的相互制約關系，然而對于概念中的“唯一確定”，學生理解得不徹底.對于練習2正是為了彌補這個思維漏洞，通過表格的形式讓學生感知當x確定時，y卻有兩個值與它相對應，這里和“唯一”有了矛盾，那么此時它是函數關系嗎？筆者應該在這個問題上停一停，多讓學生對此問題進行分析，從而幫助學生加深對概念中“唯一確定”的理解.顯然正面引導與反面警示相結合，必能事半功倍，起到畫龍點睛的作用.

【參考文獻】

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

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[3]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.endprint