例析數形結合在高中數學解題中的應用

袁奮華

【摘要】數形結合思想是重要的數學研究方法，是代數與幾何知識相聯系的體現.通過數形結合思想的使用，可以起到化繁為簡、化難為易的目的.本文從方程、不等式及解析幾何這三方面出發，對數形結合思想在數學教學中的應用展開討論.

【關鍵詞】高中數學；數形結合；教學應用

“數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事非”，這句話出自我國當代數學家華羅庚.他形象客觀的闡釋了數與形的關系，成功地將抽象的代數關系轉化為具體的幾何關系；同樣的，將復雜的幾何關系轉換為代數關系，利用代數規律實現求解.在高中數學教學中蘊含著眾多的數學思想，數形結合思想作為最基礎的數學思想，有著重要的應用價值.

一、數形結合在方程中的應用

在方程求解過程中，我們常常會遇到一些特殊組合，例如，某些方程常常會涉及三角函數、指數函數、對數函數及絕對值函數等，這些方程的求解往往較為特殊，也給學生們帶來了一定的困擾.尤其是對絕對值方程而言，若是采用通常的代數手段進行求解，需要面臨分類討論的煩瑣計算，且容易造成學生思路混亂，降低求解準確率.但若是利用圖形語言，將絕對值函數圖形化，那么原本的方程求解問題就變成了簡單的看圖說話了.

例1 已知方程|x2-1|=k+1，試求該方程解得個數與k值的關系.

分析 針對含有絕對值的方程，需要討論絕對值部分在大于零、小于零及等于零這三種情況，對各類情況還需要進行計算分析，最后綜合上述條件才能得到最終的結論.但我們若是將方程問題視為兩個函數圖像的交點問題，那么計算分析就簡單多了.在本例中即是將等式兩邊視為兩個函數，在坐標系中研究其函數圖像的交點問題.

解析 已知方程|x2-1|=k+1，設y1=|x2-1|、y2=k+1.至此，方程解的問題就轉化成了函數圖像交點的問題.于是，我們將上兩個函數圖像繪制在坐標系中，得到其關系圖形如右所示，此時該題目就變成了簡單地看圖說話了.（1）當k<-1時，兩函數圖像無交點，即原方程無解；（2）當k=-1時，兩圖像存在兩個交點，即原方程有兩個解；（3）當-10時，兩函數圖像有兩個交點，即原方程有兩個解.綜上即可知本題的最終結論.

二、數形結合在不等式中的應用

坐標軸作為數形結合的紐帶，可以有效地將數與形相結合，利用函數圖像鮮明的反映代數關系.在某種程度上，函數、方程及不等式都是相互聯系的，這三者可以互相轉換.與數形結合思想在方程中的應用相似，在不等式中依然是依靠函數進行轉換，將不等式關系轉換成函數關系.在實際求解過程中，我們同樣可以利用函數知識進行導入，逐漸向不等式上靠攏.通過對“求根公式法”及“圖像法”在不等式求解中的比較，最終引出更為簡單直觀的數形結合法.

例2 已知實數x、y滿足關系式x2+（y-1）2=1，此時，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，試問實數c的取值范圍是什么？

分析 從已知信息可以看出，本題涉及二元二次函數及二元一次不等式，若是單純從代數的角度尋求解題必然需要面臨煩瑣的計算分析，還有可能算不出來.但若是從數形結合的角度出發，將兩實數滿足的關系式視為二次函數，將不等式轉換為一次函數，利用函數圖像的性質，便可以實現順利求解.

解析 由實數x、y滿足關系式x2+（y-1）2=1可知，點（x，y）在以（0，1）為圓心，1為半徑的圓上.當該點在圓軌跡上運動時，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，即動點恒在直線y=-x-c的上方.此時，繪制出該題的示意圖，利用圖形語言進行分析.如上圖所示，當該直線與圓相切，且切點在B點時取到線段OA的最小值.其中-c值代表的是直線與縱坐標交點的位置.利用已有圖形信息可知，當切點位于B點時，|OA|min=2-1，即c值應≥2-1，故B選項即是正確選項.

三、數形結合思想在解析幾何中的應用

解析幾何是高中數學知識中數形結合思想應用的典范，尤其是涉及直線、圓、拋物線、雙曲線等復雜的解幾問題時，數形結合思想的使用是必不可少的.在解析幾何的考題中，有時不會為學生提供現成的分析圖形，需要學生自己繪制，在考查幾何知識的同時，也訓練了學生的繪圖能力.尤其是遇到復雜類的組合區域問題時，需要首先繪制出組合區域的示意圖，利用圖形輔助分析幾何概念.

例3 已知圓C位于直線x=3與拋物線y2=2x圍成的區域內，試問圓C所能取到的最大半徑值是多少？

分析 本題屬于數形結合思想在解析幾何中的應用，考查了圓、直線、拋物線及函數最值問題，是一道綜合性解析幾何題.此時，欲使圓C半徑取得最大值，圓心應在x軸上，且應同時與直線和拋物線相切.因此，我們需要設參數，表示出圓方程.

解析 設圓的半徑為r，即可得到圓方程的表達式為（x+r-3）2+y2=r2.利用取最值條件時，圓與直線和拋物線同時相切，可知切點也應同時滿足拋物線方程，即滿足y2=2x.于是將上兩式聯立得到關系式x2+2（r-2）x+9-6r=0.利用相切關系，結合根的判別式得到Δ=[2（r-2）2]-4（9-6R）=0.結合r>0，分析得到rmax=6-1.

總之，通過數形結合思想的使用，有效地將抽象與具體相結合，巧妙地避開了代數計算的抽象和幾何分析的復雜，將解題過程實現了簡單化.當然，數形結合的使用遠不止本文提到的這幾類.我們教師應該在日常教學中著眼于數與形的關系發掘，利用數形結合的優勢，提高學生分析問題、解決問題的能力.