含參不等式恒成立問題的思維途徑

于 晴

(河北省唐山市第二中學 063000)

含參不等式恒成立問題的思維途徑

于 晴

(河北省唐山市第二中學 063000)

含參不等式問題是高考中常見題型.本文就這類問題的求解方法加以分類，并舉例說明.這對提高解答該類問題的能力，有參考價值.

含參不等式；恒成立；問題轉化

含有參數字母的不等式恒成立問題綜合性強，融合了函數、方程、不等式、三角、數列等各知識點，涉及到諸多數學思想方法，既是高中數學中的典型問題，也是高考的熱點題型.本文就求解這類問題的若干思維途徑總結如下.

一、選擇恰當的主元

從不同的角度分析不等式的結構特征，選擇恰當的主元，構造出相應的函數，利用這個函數的有關性質來解決問題.

分析本題常規思路是把左式中的log3x視為一個字母的變元，則可化為二次式問題，但系數中的log2m在變動，不易把握.若視log2m為一個字母的變元，則可化為關于這個字母的一次式問題，容易掌握.

點評本題求解的關鍵是改變常規思維，變更主元，從而化二次式為一次式，使問題化難為易.選準觀察角度，尋找到恰當的著手點，是簡捷順暢解題的關鍵所在.一般情況下，已知取值范圍的字母(如本例中的log2m)為主元，常使問題變得簡單易解.

二、分離參數

在含參數的不等式中，如果能將參數解出來，那么可轉化為求函數的最值問題.

例2 已知不等式x2+(m+1)x+1≥0在x∈[0,+∞)時恒成立，求實數m的取值范圍.

綜上得m的取值范圍是[-3,+∞).

三、變量代換

數學解題中，如果能作出恰當的代換，那么可將復雜的式子簡單化，隱蔽的關系明朗化，從而為解題開辟通道.如上述的例1.現再看一例.

例4 對于滿足16x2+9y2-32x+18y-119=0的實數x,y，如果不等式x+y-k>0恒成立，求k的取值范圍.

而5sin(θ+φ)的最小值是-5，從而得k的取值范圍是(-∞,-5).

四、利用切線

將不等式轉化為一條曲線與一條動直線的高低位置關系問題.利用動直線與曲線的鄰界位置——相切來解決問題.

[1]戚有建.如何選定主元[J].數學通訊，2014(7、8)：5～7.

[2]鄭一平.常規的分離參數解法為何半途而廢[J].數學通訊，2014(4)：12～13.

[3]吳佐慧，林軍，劉合國.高考全國卷含參不等式恒成立問題的探究[J].中學數學，2014(2)：85～87.

[4]滕中華，章才良.例析“分離參數法”在含參不等式中的應用[J].福建中學數學，2014(4)：42～44.

[5]劉鵬.參數取值范圍問題的求解方法[J].高中數學教與學，2014(1)：19～21.

G632

A

1008-0333(2017)31-0041-02

2017-07-01

于晴，河北省唐山市第二中學 ，在校學生.

楊惠民]