余弦定理在圓錐曲線中的成效

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

余弦定理在圓錐曲線中的成效

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

本文介紹了用余弦定理解答圓錐曲線中的三角形的問題.

余弦定理；圓錐曲線；三角形

由于圓錐曲線的試題中總離不開點與線的問題，這樣一來就極有可能形成三角形，而運用余弦定理來解此類問題常常會有一定的成效.根據三角形的位置不同可分：焦點三角形與非焦點三角形兩類.

第一類“焦點三角形”有關的問題

“焦點三角形”指的是圓錐曲線上任意一點與其兩個焦點的連線構成的三角形.

例1 已知橢圓的兩個焦點為F1,F2，橢圓上存在點P使∠F1PF2=60°，求橢圓離心率的取值范圍.

解在△PF1F2中，設|F1F2|=2c,|PF1|=p,|PF2|=q，則p+q=2a.

此題圍繞著一個角的問題來分析邊之間的關系，因此考慮用余弦定理來求解.

此題也可適當地進行引申.如：

(1)已知橢圓的兩個焦點為F1,F2，P是橢圓上一點，∠F1PF2何時最大？最大角為多少？(提示：利用余弦定理及基本不等式就可求出P在短軸端點上取到最大值.)

證明設∠F2AF2=θ，|F1F2|=2c,|AF1|=p,|AF2|=q.

根據橢圓與雙曲線的定義可得：

由于有共同焦點，故a2-b2=m2+n2.

根據余弦定理得：

第二類“非焦點三角形”有關的問題

在圓錐曲線中雖有很多與焦點三角形有關的問題，但還有很多題與非焦點三角形有關.

例3 已知圓C過定點A(0,p)(p>0)，圓心C在拋物線x2=2py上運動，M,N為圓C與x軸的交點.

(1)求證：|MN|為定長;

解(1)提示：寫出圓的方程，令y=0，得到|MN|=2p.(解答略)

(2)可見l1,l2,|MN|構成三角形.

此題運算過程中，若采用常規的運算不但其運算量大，而且最值也較難求.而采用此法可將問題轉化為三角函數的最值問題，降低了運算，而可以運用三角函數的最值問題來求最值.

例4 已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點(-1,0)及斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點，若∠AFB為鈍角，求實數k的取值范圍.

解設直線l:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2)，根據題意可知：k≠0.

根據拋物線的定義|FA|=x1+1,|FB|=x2+1.

將直線方程代入拋物線y2=4x中，整理得：

k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

根據直線與曲線相交,故Δ>0,求得：k2<1.

根據余弦定理可知，使得∠AFB為鈍角，只需|FA|2+|FB|2-|AB|2<0即可.

將上述式子代入及利用韋達定理可得：2k2-1<0

此題是研究角為鈍角的情況，而余弦定理可以解決角分類的問題，可由其余弦值的符號來確定.

總之，在圓錐曲線的學習過程中，三角形有關的問題，聯系余弦定理進行求解會有事半功倍的效果.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.人教A版數學選修2-1.普通高中數學課程標準試驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0031-02

2017-07-01

王蘇文(1975.7-)，男，諸暨市人，中學高級，大學本科，從事數學解題教學。

楊惠民]