巧施策略，妙求復(fù)數(shù)

陳志銀

(江蘇省如皋市石莊高級中學(xué) 226500)

巧施策略，妙求復(fù)數(shù)

陳志銀

(江蘇省如皋市石莊高級中學(xué) 226500)

復(fù)數(shù)集是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充，學(xué)生在研究復(fù)數(shù)集時，不能把實(shí)數(shù)集上的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，若涉及到復(fù)數(shù)方程，復(fù)數(shù)求最值等問題，這時學(xué)生就需要根據(jù)不同題型，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)乃季S策略去解決問題.因此，教師們在教學(xué)的過程中，就要給予學(xué)生合理的解題策略與解題方法，不斷地在教學(xué)過程中滲透，幫助學(xué)生理清思路，建立信心，打開學(xué)生的思維之門.

高中數(shù)學(xué)；復(fù)數(shù)問題；解題策略

在復(fù)數(shù)類題型中，出題者經(jīng)常結(jié)合方程、集合等知識，以小題為主，側(cè)重考查基本知識和基本技能.學(xué)生必須要清楚地知道求解復(fù)數(shù)問題的思維策略，這樣遇到問題的時候才能靈活應(yīng)對.所以，教師在實(shí)際的教學(xué)過程中要明確教學(xué)的大方向，側(cè)重于對學(xué)生解題策略以及思維方式的培養(yǎng)，提升課堂的效率.

一、化虛為實(shí)，巧解復(fù)數(shù)

在求解復(fù)數(shù)問題時，有時會遇到運(yùn)算十分麻煩的題型.這時教師要做出正確的引導(dǎo)，讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，簡化解題難度.這主要是運(yùn)用了復(fù)數(shù)的相等和模的概念，把復(fù)數(shù)問題“實(shí)數(shù)化”.作為教師要將這種“化虛為實(shí)”的解題策略落實(shí)到每一位學(xué)生的思維中去，通過解題去運(yùn)用，將策略轉(zhuǎn)換為自己的思路，充實(shí)學(xué)生的思維模式.

二、整體處理，巧解復(fù)數(shù)

整體處理的思維策略是高中數(shù)學(xué)解題策略中的又一種重要的思維方法，尤其是在解答復(fù)數(shù)問題的時候應(yīng)用得比較廣泛，因此，學(xué)生要學(xué)會從整體的角度出發(fā)去分析和求解，將整體思想貫穿到整個復(fù)數(shù)內(nèi)容中去.

例2 如果虛數(shù)z滿足z3=8，那么z3+z2+2z+2的值是多少？

解析學(xué)生拿到這道題如果不經(jīng)深入的思考，直接設(shè)z=a+bi(b≠0)代入求解的話，學(xué)生就會遇到很復(fù)雜的過程，往往不容易求解出來.但是如果學(xué)生深入思考，巧妙運(yùn)用整體的思維策略，就會提高解題的效率，降低解題的難度.根據(jù)題意，因?yàn)閦3=8，所以z3-8=0，即(z-2)(z2+2z+4)=0.又因?yàn)閦是虛數(shù)，因此z≠2，那么有z2+2z+4=0，即z2+2z+2=-2，于是z3+z2+2z+2=8-2=6.

點(diǎn)撥在本道題中，根據(jù)z3=8，利用立方差公式進(jìn)行展開(z-2)(z2+2z+4)=0，由z是虛數(shù)，因此z-2≠0，由此可得z2+2z+4=0.接下來將待求式變形可得z3+(z2+2z+4)-2，代入求值即可.教師在教學(xué)復(fù)數(shù)的過程中要有意向地去教學(xué)，給學(xué)生灌輸整體的思想，提高學(xué)生的解題效率.

三、巧用函數(shù)與方程，化解復(fù)數(shù)題

函數(shù)與方程思想的實(shí)質(zhì)是提取問題的數(shù)學(xué)特征，并且用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來看待數(shù)學(xué)，達(dá)到函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)換，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，正確地求解問題.教師在教學(xué)的過程中，就要不斷地培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程的思想，在遇到復(fù)數(shù)問題時，能夠準(zhǔn)確地建立函數(shù)與方程的模型，提升學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換能力，復(fù)數(shù)難題也就迎刃而解.

例3 已知z∈C，且|z-2-2i|=1，i為虛數(shù)單位，試求|z+2-2i|的最小值是多少.

點(diǎn)撥本道題利用了函數(shù)與方程的思想，先是通過設(shè)出z=x+yi(x,y∈R)，列出方程，再結(jié)合函數(shù)的知識點(diǎn)去求解.此外，本題從幾何意義的角度也可速解：z對應(yīng)的點(diǎn)在以(2，2)為圓心，1為半徑的圓上，|z+2-2i|表示z對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(-2，2)的距離，于是求出|z+2-2i|的最小值是為3.可見，函數(shù)與方程思想的重要性，教師在教學(xué)的過程中，要強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知，不斷地拓展練習(xí)，運(yùn)用函數(shù)與方程思想去解題，做好引導(dǎo)者的身份，學(xué)生也要在做題中不斷總結(jié)與反思，做到真正將函數(shù)與方程的思想靈活運(yùn)用.

四、運(yùn)用分類討論思想，巧解復(fù)數(shù)

分類討論思想就是當(dāng)所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一的研究時，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對于研究對象進(jìn)行分類，然后分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各個結(jié)論得出題目的結(jié)論.需要注意的說，在分類的過程中要做到不重復(fù)、不遺漏.在研究復(fù)數(shù)問題時，要充分掌握一個復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、虛數(shù)以及純虛數(shù)的充要條件.

解析根據(jù)題意，知道方程x2-2x+k=0的判別式Δ=4-4k.當(dāng)α，β為實(shí)數(shù)時，Δ≥0且|α-β|2=(α-β)2即k=-1；當(dāng)α，β為虛數(shù)時，Δ<0且α與β共軛，于是|α-β|2=-(α-β)2，解之得k=3.于是，綜合以上所述，可以得出實(shí)數(shù)k的值為-1或者3.

點(diǎn)撥本道題是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)考查學(xué)生分類討論的思想，利用分類討論的思想去解題，對于方程的兩個根α，β進(jìn)行分類，分類研究α，β為實(shí)數(shù)的情況與α，β為虛數(shù)時的情況，最后根據(jù)分類的兩種情況進(jìn)行總結(jié)，得出要求的實(shí)數(shù)k的值.教師在教學(xué)的過程中，要不斷加強(qiáng)對學(xué)生分類討論思想的灌輸，加強(qiáng)學(xué)生思維的縝密性，給予學(xué)生合適解題策略，幫助學(xué)生巧妙地解決復(fù)數(shù)問題.

總之，在解決復(fù)數(shù)問題時，教師要在教學(xué)中不斷地去探索，把正確的解題策略及時地灌輸給學(xué)生，在教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”之間架設(shè)好橋梁；學(xué)生也要不斷地練習(xí)，找尋到問題的關(guān)鍵所在，并且合理地運(yùn)用解題策略，才能解決根本問題，這樣不僅可以使自己得以突破，而且在思維能力上還會得以延伸.

[1]董是.復(fù)數(shù)的解題技巧[J].高中數(shù)理化，2017(03).

[2]寧俊玲.復(fù)數(shù)高考常考題型透析與應(yīng)對策略[J].高中數(shù)理化，2015(03).

G632

A

1008-0333(2017)31-0017-02

2017-07-01

陳志銀(1979.6-)，女，江蘇省南通人，本科，中學(xué)一級教師，從事高效教學(xué)方法研究.

楊惠民]