抓住幾何本質，避繁就簡解題

溫日明

(江西省信豐中學 341600)

抓住幾何本質，避繁就簡解題

溫日明

(江西省信豐中學 341600)

通過比較常規解法和幾何解法的優劣，說明抓住條件中的幾何本質，利用數形結合解題的簡潔性．

幾何本質；避繁就簡；解題

在學習數學的過程中，我們經常會遇到一些題目，常規方法求解比較繁瑣，甚至做到中途做不下去，然而若換個角度，抓住條件中的幾何本質，利用數形結合，往往會得到一些簡潔解法，這是數學解題很重要的方法之一．下面試舉幾例，以饗讀者．

例1 (2015江蘇高考，10)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為 ．

簡解易知直線mx-y-2m-1=0(m∈R)恒過定點(2,-1)，

∴當點(2,-1)為切點時圓的半徑最大，

∴半徑最大的圓的標準方程為(x-1)2+y2=2．

評析常規解法利用圓心到切線的距離等于半徑，結合基本不等式求解，也行得通．簡解抓住直線恒過定點，結合圖形分析可知結果，簡便易行．

例2 過圓O:x2+y2=2外一點A(3,1)引圓的兩條切線，切點分別為T1,T2，則直線T1T2的方程為 ．

常規解法易知切線存在斜率，設切線方程為y-1=k(x-3)，即kx-y+1-3k=0，

∴切線方程分別為x-y-2=0或x+7y-10=0．

∴直線T1T2的方程為x+2y-3=0．

簡解如圖1，以A為圓心，AT1為半徑作圓，由切線長相等知圓A過必點T2，故T1T2是圓O與圓A的公共弦．

∴圓A的方程為(x-3)2+(y-1)2=8，

又圓O的方程為x2+y2=2，

相減得直線T1T2的方程為x+2y-3=0．

評析常規解法采用先求切點坐標，進而求出切點所在直線方程的方法，運算量較大．簡解抓住切線長相等，T1,T2均在以A為圓心，AT1為半徑的圓上，利用兩圓公共弦求解，大大減少了運算量．

例3 在直角坐標平面內，與點A(1,2)的距離為1，且與點B(3,1)的距離為2的直線l共有 條．

常規解法顯然直線l存在斜率，設l的方程為y=kx+b，

∴直線l共有2條．

簡解∵點A,B到l的距離分別為1，2，

∴l是以A為圓心，1為半徑的圓和以B為圓心，2為半徑的圓公切線，而圓A，圓B是相交的，∴直線l共有2條．

評析常規解法以計算為主，難點在于方程組求解繁瑣．簡解巧在思考，看出l是兩圓的公切線．

例4 (2014江西高考，9)在平面直角坐標系中，A,B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為

圖2

簡解如圖2，∵A,B分別在x軸，y軸上，

∴OA⊥OB，

∴以AB為直徑的圓C必過原點

O．又∵圓C與直線2x+y-4=0相切，

∴圓C直徑的最小值為點O到直線2x+y-4=0的距離，

評析本題常規解法是設A,B的坐標，表示出圓C的半徑，求出半徑的最小值，從而求出面積的最小值，但求半徑的最小值卻很麻煩，許多學生因此半途而廢．簡解抓住圓C必過原點O這一特征，巧妙轉化，簡潔算出半徑，可謂避繁就簡．

[1]施富英．看透本質，巧思妙解[J]．中學數學研究(南昌)，2015(12)：38-39.

G632

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1008-0333(2017)31-0013-02

2017-07-01

溫日明(1976-)，男，江西信豐人，本科，中學高級教師，從事高中數學教育研究與初數研究.

楊惠民]