橢圓中的最值問題歸納

陳國林

(贛南師范大學科技學院 341000)

橢圓中的最值問題歸納

陳國林

(贛南師范大學科技學院 341000)

本文就橢圓中的幾類最值問題加以歸納，并舉例加以闡述.

橢圓；最值問題；例題

一、知識歸納

1.橢圓過中心的弦中，最長的為A1A2=2a，最短的為B1B2=2b.

3.橢圓中最大的焦半徑為a+c，最小的焦半徑為a-c；或者說：橢圓上任一點到焦點的距離的最大值為a+c，最小值為a-c.

4.求一點與橢圓上一點的距離最值問題常用兩點距離公式表示，消去x或y轉化成二次函數求最值問題.求解時需注意自變量的取值范圍.

5.在平面內，設P為一動點，M為定直線l外一定點，d為P到l的距離，d0為M到l的距離，則 |PM|+d的最小值為d0．

6.設A、B是直線l同側兩定點，且直線AB⊥l，點P為直線l上一動點，則∠APB有最大值．

7.設點P為橢圓上任一點，則cos∠F1PF2≥1-2e2，S△F1PF2的最大值為bc.

8.當直線l與橢圓相離時，橢圓上總存在到直線l的距離有最大(小)值的點.

方法1 設P(acosθ,bsinθ)，利用點到直線的距離公式——求三角函數的最值；

方法2 設與l平行的直線系l′——與橢圓方程聯立消元——令Δ=0——得出與l平行的橢圓的兩條切線l1、l2——求出l與l1、l與l2的距離即為所求．

9. 設P為平面內一動點，A、B為兩定點，則

(1)|PA|+|PB|≥|AB| 當且僅當點P在線段AB上時取得最小值；

(2) -|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB| 當且僅當點P在線段AB(或BA)的延長線時取等號．

10.橢圓上點與一定點距離之和(差)的最值問題往往可用定義轉化到另一焦點距離之差(和)進而求解.

二、例題分析

解析由題意知橢圓的兩個焦點F1，F2分別是兩圓的圓心，且PF1+PF2=10，從而PM+PN的最小值為PF1+PF2-1-2=7.

解析設M(x1,y1),N(x2,y2)，△F2MN的內切圓半徑為r，則

(1)求橢圓E的方程；

(2)當α變化時，討論線段AD與BC長度之間的關系，并給出證明；

(3)當α變化時，求四邊形ABCD面積的最大值及對應的α值．

解析(1)由已知，得b=c=1，所以a2=2．

(2)AD=BC．下面證明：

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，直線AB：x=my-1，則直線DC：x=my+1．

點F2到直線AB：x-my+1=0的距離是

結語橢圓中距離的最值問題一般會從這兩點進行考查：①利用橢圓的定義結合平面幾何知識求解(適用于所求的表達式中隱含有長軸或者離心率e)；②根據橢圓標準方程的特點，把距離問題轉化為二次函數求最值的問題(適用于定點在橢圓的對稱軸上).

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書( 數學選修2-1)[M]. 北京:人民教育出版社,2008.

G632

A

1008-0333(2017)31-0011-02

2017-07-01

陳國林(1994.12-)，男，安徽利辛人，從事數學教育研究.

楊惠民]