Δ法在圓錐曲線存在軸對稱點的應用

何正文

(廣東省肇慶市百花中學526000)

Δ法在圓錐曲線存在軸對稱點的應用

何正文

(廣東省肇慶市百花中學526000)

本文就判別式法在圓錐曲線中軸對稱問題的應用加以論證，并得出若干結論，優化解題.

圓錐曲線；軸對稱；判別式法

圓錐曲線上存在不同的兩點關于直線成軸對稱，求直線或圓錐曲線中參數的取值范圍，Δ法是軸對稱中求解綜合性強且處理靈活多樣的方法.

一、問題的提出

A2b2-B2a2>0或A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2<0. ①

二、問題的證明

證明(必要性)若雙曲線上存在兩個不同的點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)關于直線l對稱，則可設直線方程為

Bx-Ay+T=0，②

其中T為待定系數，將方程②與雙曲線的方程聯立并消去y得

(B2a2-A2b2)x2+2BTa2x+T2a2+A2a2b2=0.③

∵直線②不會與雙曲線的漸近線平行，∴B2a2-A2b2≠0，

又P1、P2是雙曲線上不同的兩點，因而Δ>0

∴ (2BTa2)2-4(B2a2-A2b2)(T2a2+A2a2b2)>0

整理得A2b2-B2a2+T2>0.④

由此解得

將上式代入④得

(A2b2-B2a2)[A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2]>0,

∴A2b2-B2a2>0

或A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2<0.

(充分性)若①式成立，由必要性的證明知直線l的垂線

與雙曲線有兩個不同的交點P1和P2，且線段P1P2的中點在直線l上，即雙曲線上存在兩個不同的點P1和P2關于直線l對稱.

說明(1)由③式可以看出，當A2b2-B2a2>0時，關于l對稱的兩點分別在兩支上；當A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2<0時，必有A2b2-B2a2<0，關于l對稱的兩點在同一支上.

(2)當A或B中有一個為零時，很容易直接判斷.

三、問題的類比

類比定理1的“Δ法”的證明過程，對于橢圓和拋物線有以下結論：

定理3 拋物線y2=2px(p≠0)上存在兩個不同的點關于直線Ax+By+C=0(AB≠0)對稱的充要條件為pA(pA3+2pAB2+2B2C)<0.

定理4 拋物線x2=2py(p≠0)上存在兩個不同的點關于直線Ax+By+C=0(AB≠0)對稱的充要條件為pB(pB3+2pA2B+2A2C)<0.

說明： (1)以上三個定理也可利用點所在的圓錐曲線的區域證明；

(2)當二次曲線的方程不是標準式時，可通過坐標變換化為標準式.

四、定理的運用

(1)雙曲線的兩支上分別有一點關于直線對稱；

(2)雙曲線的同支上有不同的兩點關于直線對稱.

解(1)由定理1得3k2-4>0，解得k的取值范圍為(-,-)∪(,+).

解：∵A2B2(a2-b2)2-(A2b2+B2a2)C2=4(16-12)2-(48+16)=0，

∴由定理2橢圓上不存在關于直線l對稱的相異兩點.

解若線段AB與x軸平行，則x0=0，所證成立；

例4 拋物線y=ax2-1上有兩個不同的點關于直線x+y=0對稱，求a的取值范圍.

[1]單墫，等.普通高中課程標準實驗教科書必修1[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0009-02

2017-07-01

何正文，男，肇慶市百花中學，大學本科，中學二級教師，從事班主任及數學教學工作.

楊惠民]