道是無圓卻有圓
——巧構輔助圓解題

孟方明

(浙江省春暉中學 312353)

道是無圓卻有圓
——巧構輔助圓解題

孟方明

(浙江省春暉中學 312353)

摘要：圓是高中數學的主干知識，也是高考必考的內容之一．對于以隱性呈現方式的圓的問題，如果不能將圓化隱為顯，則往往會陷入繁雜的計算．本文著眼于圓的平面幾何性質以及圓的位置關系，通過巧構輔助圓，談談如何破解有關圓的問題．

平幾性質；位置關系；構造

高中數學中有些問題看似與圓無關，但若能深入挖掘題目中的隱含條件，巧妙地構造輔助圓，然后運用圓的有關知識，便能順利地建立起條件與結論之間的聯系，化隱為顯，化繁為簡，化難為易，從而“圓”滿地解決問題．

一、利用圓的平面幾何性質

1.對直徑的張角

解析由于圓內的點對直徑的張角為鈍角，因此構造以F1F2為直徑的圓，如圖1，橢圓與圓相交，結合題意知點P落在弧P1P2以及與x軸對稱的劣弧上.聯立橢圓方程與圓方程

圖1

說明設P為平面內一點，AB是圓O的直徑，則點P在圓O(不同于A,B)上等價于∠APB=90°；點P在圓O內等價于∠APB>90°;點P在圓O外等價于∠APB<90°．

本題關鍵是根據題目中的點P對兩定點F1,F2為鈍角聯想到上述圓的基本性質．

2.圓周角定理

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設P為直線l:x=m(|m|>1)上的動點，使∠F1PF2最大的點記為Q，求點Q的坐標(用m表示)．

(Ⅱ)不妨設m<0，如圖2.

圖2

過F1、F2作圓與直線x=m切于點Q.

當點P不同于點Q時，∠F1QF2、∠F1PF2分別為圓周角與圓外角.根據圓周角定理，圓周角大于任一圓外角,即恒有∠F1QF2>∠F1PF2．

設直線l1與x軸交于點N，

由切割線定理知，|NQ|2=|NF1|·|NF2|=(-c-m)(c-m)=m2-c2=m2-1，

說明同圓弧所對圓周角大于圓外角，對某些張角最大值問題，若巧用“兩角”關系，則可迅速鎖定最值位置．本題關鍵在于由∠F1QF2恒大于∠F1PF2，構造過點F1、F2且切于點Q的輔助圓，使兩角分別成為圓周角與圓外角．與傳統函數不等式解法相比，簡捷而又創新．

二、利用與圓有關的位置關系

1.點與圓的位置關系

例3 若cosα+cosβ=1，求sinα+sinβ的取值范圍．

解析根據三角函數sinα,cosα的定義，構造單位圓，設角α,β的終邊與單位圓x2+y2=1分別交于點A,B，則A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ).

圖3

說明若點P在圓C:f(x,y)=0內或圓上，則|PC|≤r(r為⊙C半徑)．本題關鍵是由三角式聯想三角函數定義，構造單位圓O，使cosα+cosβ、sinα+sinβ與弦中點P建立聯系．

2.直線與圓的位置關系

解析由已知，|F1F2|=|F2P|=2c，即點P到定點F2的距離為定值2c，

∴P在以F2為圓心，2c為半徑的圓(x-2c)2+y2=4c2上.

∴直線與圓有公共點，

∴a2≤3a2，

故選D．

∴|y|≤2，∴ymax=2．

3.圓與圓的位置關系

例6 在坐標平面內與點A(1,2)距離為1，且與點B(3,1)距離為2的直線共有( )．

A.1條 B.2條 C.條 D.4條

解析由題意，到點A(1,2)距離為1的直線是以A為圓心，1為半徑的圓的切線，同理，到點B(3,1)距離為2的直線是以B為圓心，2為半徑的圓的切線，故與點A(1,2)距離為1，且與點B(3,1)距離為2的直線是⊙A和⊙B的公切線.

∴|r1-r2|<|AB|

∴公切線有2條，選B．

說明兩圓在不同的位置關系下，公切線的條數各不相同，若兩圓相交，則公切線有兩條．本題關鍵是由到定點距離為定長的直線，浮想到圓的切線，此時再結合兩圓位置關系，則獲得巧解，可謂不拘一格、獨具匠心．

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.人教A版數學選修2-1.普通高中數學課程標準試驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0006-02

2017-07-01

孟方明(1979-)，男，浙江紹興人，大學本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究．

楊惠民]