對于解三角形中最值問題的思考

楊冠華

(江蘇省金壇第一中學 213200)

對于解三角形中最值問題的思考

楊冠華

(江蘇省金壇第一中學 213200)

解三角形日益成為高考的難點和熱點，解答時需借助正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，還要熟練掌握三角形的一些平面性質.在高考數學試卷中，作為解答題，解三角形位置相對靠前，難度不是太大，但是當解三角形問題與不等式相結合時，學生常常難以入手.本文結合實例談一談三角形最值的求法，并結合三角函數最值，啟發學生對數學學習的思考.

三角形；最值問題；解題技巧

問題啟發:

那么本題的證明思路已經很清晰了，利用基本不等式，

我們再反過來看這樣一個問題，當一個直角三角形面積為定值時，求三角形周長的最小值.已知三角形的三邊長分別為a,b,c,且滿足a2+b2=c2，設三角形面積為k，k為定值，則三角形的周長l=a+b+c.則由基本不等式：

深入思考：上述兩個三角形的最值問題很具有典型性和一般性，但是僅僅解決了關于三角形邊的幾個基本最值問題.現我們進一步思考這樣一個問題，假設我們知道三角形的一條邊和一個角，能不能求出三角形周長和面積的最大值.根據三角形邊和角的位置關系，我們需要把這個數學問題分成兩類：

當角和邊相對應時，已知A=θ,A的對邊長度為a,求三角形面積和周長的最大值.

y=simBsimC,B+C=π-θ；

上述從角的角度考慮，運用正弦定理和三角函數解決了面積最大值的問題，如果我們從邊的角度出發，同樣也可以求出S的最大值.

a2=b2+c2-2bccosθ≥2bc(1-cosθ),

下面我們用類比的方法來解決三角形周長的最大值問題，設三角形的周長為l,則

那么上述問題即轉化成求sinB+sinC的最值問題.

記y=sinB+sinC,B+C=π-θ,

y=sinB+sin(B+θ)=(1+cosθ)sinB+cosBsinθ,

y′=(1+cosθ)cosB-sinθsinB.

根據導數的性質，可知當

ABC分類法是目前最常用的庫存管理方法之一。ABC分類法又稱主次因素分析法或“帕累托”現象。這種方法簡單易行，在庫存管理中應用廣泛。ABC分類法的基本原理是將庫存物資按品種和占用資金的多少分為特別重要的庫存（A類）、一般重要的庫存（B類）和不重要的庫存（C類）三個等級，然后針對不同重要等級分別進行管理和控制[2]。該方法的核心是“分清主次，抓住重點”，針對企業庫存中占用大量資金的少數生鮮農產品，需要進一步加強庫存管理和控制；而企業庫存中占用少量資金的大多數生鮮農產品，可進行相對較為寬松的庫存管理與控制。

此外我們知道sinx其實是一個上凸函數，根據上凸函數的性質我們很容易證明：

如果我們從邊的角度出發，要求l的最大值，其實就是求b+c的最大值.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosθ,進一步對上述整理我們可以得到：

同樣我們用上述方法也得到了l的最大值.

當三角形中給的邊長和角不對應時，三角形的面積和周長是否依然還存在最大值呢？

上述表達式在定義域內單調減，所以S不存在最值，因此我們分析得到知道三角形的一條邊和一個角不對應時，S不存在最值.

結語：

根據上述研究思路和研究方法，我們也可以類比地得到已知角和邊不對應的面積和周長最值的求法，本文就不再深入展開.對于解三角形的最值問題，本文講述了如何用基本不等式，凸函數以及導數來解決解三角形的最值問題，對于三角形的最值問題還有很多值得我們思考與商榷，筆者也會在以后的學習生活中更加深入地思考.

[1]葛軍.新編高中數學競賽指導[M].南京：南京師范大學出版社，2014:78-79.

G632

A

1008-0333(2017)31-0002-02

2017-07-01

楊冠華(1988.08-)，男，江蘇省常州人，碩士，中學二級教師，從事中學數學教學.

楊惠民]