探討高中數(shù)學(xué)中解三角形的非常規(guī)思路

馮厚發(fā)

摘 要：使用正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊、角互化，是高中數(shù)學(xué)中解三角形的常規(guī)思路。但部分解三角形題目，也可采用非常規(guī)思路進(jìn)行解答。因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重傳授解三角形的非常規(guī)思路，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率的目的。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解三角形;思路;探討

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.63????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2018）20-053-1

不可否認(rèn)，正、余弦定理是解三角形的重要知識(shí)點(diǎn)，可解答出較多的三角形問(wèn)題。但其并不是解三角形的唯一方法，甚至用于部分題目解答中會(huì)增加解題難度，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重講解相關(guān)例題，傳授解三角形的非常規(guī)思路，進(jìn)一步拓展學(xué)生思維，使學(xué)生能夠靈活解答各種解三角形類(lèi)的題目。

一、平面向量法解三角形

平面向量是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，常被用作解答平面、立體幾何問(wèn)題的工具。在一些解三角形題目中，使用正、余弦定理雖然能夠解答出來(lái)，但計(jì)算較為繁瑣，而使用平面向量進(jìn)行求解，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，獲得事半功倍的解題效果，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用平面向量法解三角形。

例1 如圖所示，在三角形ABC中，BC邊上存在一點(diǎn)D，滿足BD=2DC，其中∠BAC=π3，AB、AC的長(zhǎng)分別為4、3，則AD的長(zhǎng)是多少？

分析：該題目是解三角形的常規(guī)題型，學(xué)生并不陌生。使用正、余弦方法求解需要考慮兩個(gè)問(wèn)題：其一，解題過(guò)程中涉及兩個(gè)三角形，列出的方程較多，而且計(jì)算量較大。其二，選擇三角形時(shí)容易搖擺不定，浪費(fèi)解題時(shí)間。而利用平面法，可有效避免上述問(wèn)題，做到盡快解題，即，利用向量知識(shí)，使用AB、AC表示AD，不難得出：AD=13AB+23AC利用題干及向量數(shù)量積，將上式兩邊平方可得出AD=2193。

點(diǎn)評(píng)：使用向量法解三角形，雖能簡(jiǎn)化解題過(guò)程，但技巧性較強(qiáng)，如不能準(zhǔn)確找到已知量與未知量間的向量關(guān)系，仍不能迅速解題，因此，為使學(xué)生熟練掌握這一解題思路，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行相關(guān)題型的訓(xùn)練，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確找到已知量與未知量間的關(guān)系，巧妙利用向量知識(shí)進(jìn)行求解。

二、數(shù)形結(jié)合法解三角形

數(shù)形結(jié)合法是解答數(shù)學(xué)試題的常用方法，將數(shù)轉(zhuǎn)化至直觀的圖形中，通過(guò)分析圖形便可得出結(jié)果，明顯提高解題效率。部分解三角形試題采用常規(guī)方法，列出的數(shù)學(xué)式復(fù)雜，解答難度較大，部分學(xué)生甚至不知如何下手。考慮到三角形與圓有著密切的關(guān)系，因此，遇到解三角形題目時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造圓，利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解。

例2 已知三角形ABC中，AC的長(zhǎng)為3，∠B=π3，△ABC面積的最大值是多少？

分析：該試題情景較為簡(jiǎn)單，部分學(xué)生思維定勢(shì)，使用正弦、余弦定理、不等式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解，雖然能夠求出結(jié)果，但花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，解題效率較低。教師可引導(dǎo)學(xué)生將該三角形放入圓中，通過(guò)簡(jiǎn)單分析便可得出結(jié)果。如圖所示：

根據(jù)已知條件，不難求出圓的半徑為1，利用圓的“等弦對(duì)等角”性質(zhì)可知，點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)均符合題干情景。顯然當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積達(dá)到最大，不難求出三角形ABC的最大面積S=34×（3）2=334。

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解三角形題目時(shí)，常借助三角形的外接圓、內(nèi)切圓求解。為保證解題正確性，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的有關(guān)圓的知識(shí)，結(jié)合題干進(jìn)行分析。同時(shí)，教師可推導(dǎo)出三角形各邊與內(nèi)切圓、外接圓半徑關(guān)系的公式，在解題中方便學(xué)生直接應(yīng)用。

三、解析幾何法解三角形

解析幾何法是一種將圖形中的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)，借助直角坐標(biāo)系，對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算實(shí)現(xiàn)解題的一種方法。利用解析幾何法解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將圖形中的關(guān)系通過(guò)坐標(biāo)表示出來(lái)，只需進(jìn)行計(jì)算即可。部分解三角形題目，運(yùn)用解析幾何法可避免運(yùn)用正弦、余弦定理時(shí)繁瑣的計(jì)算，提高解題正確率。

例3 已知三角形ABC，其中AB、BC、AC的長(zhǎng)分別為3、13、4，求AC上的高。

分析：該題目難度不大，常規(guī)方法求解時(shí)仍需應(yīng)用正、余弦定理，計(jì)算繁瑣，出錯(cuò)率較高。根據(jù)題干中三角形各邊長(zhǎng)度，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算便可得出結(jié)果。根據(jù)已知條件，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出三角形ABC（如圖所示）。

可知A（0，0），B（4，0），設(shè)B（x，y）（y>0），以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以AB、BC長(zhǎng)為半徑，看做兩個(gè)圓，顯然x2+y2=9，（x-4）2+y2=13，聯(lián)立解得，x=32，y=332，即，AC上的高為332。

點(diǎn)評(píng)：利用解析解法解三角形，只需根據(jù)題干描述正確找到坐標(biāo)，并合理設(shè)置未知參數(shù)，通過(guò)已知參數(shù)求出未知參數(shù)即可，整個(gè)解題思路清晰、明了，不容易出錯(cuò)，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)多講解相關(guān)題目，提高學(xué)生應(yīng)用解析幾何法解三角形的意識(shí)。

總之，解三角形是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，是高考的必考內(nèi)容，如何提高學(xué)生的解題效率，關(guān)系著學(xué)生的考試成績(jī)，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師除認(rèn)真講解正弦、余弦定理知識(shí)，使學(xué)生熟練掌握常規(guī)解題思路外，還應(yīng)傳授一些非常規(guī)解法。