淺談高職數學的極限求法

[摘 要] 極限是高等數學的重要概念，要想學好高等數學就必須掌握極限的求法。現總結高職數學中常用的十種極限求法。

[關 鍵 詞] 極限；四則運算法則；重要極限；羅必塔法則

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）24-0129-01

極限思想貫穿了整個高等數學，它不僅是數學分析的重要概念之一，也是微積分理論的基礎，因而想要學好高等數學，首要的是掌握極限思想。本文針對高職數學學習中極限的一些基本解法做了一些總結。

一、利用極限的四則運算法則求極限

例1：求極限■■+sin（x-1）

【分析】利用極限的四則運算法則計算極限。

【解】■■+sin（x-1）=■■+■sin（x-1）=■

二、約去零因子求極限

例2：求極限■■

【分析】x→1表明x無限接近1，但x≠1，所以x-1這一非零因子可以約去。

【解】■■=■（x+1）=2

三、分子分母同除求極限

例3：求極限■■

【分析】■型且分子分母都以多項式給出的極限，可通過分子分母同除來求。

【解】■■=■■=■

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

（2）■■=0 m>n∞ m

四、分子（母）有理化求極限

例4：求極限■■-■

【分析】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。

【解】■■-■

=■■

=■■=0

五、應用已知函數極限求極限

例5：求極限■■

【分析】已知當a<1時，■ax=0，故將分子分母同除3x

【解】■■=■■=-1

六、應用兩個重要極限求極限

兩個重要極限分別是■■=1和■1+■x=■1+■n=■■=e，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現。主要考第二個重要極限。

例6：求極限■■x

【分析】第二個重要極限分析時主要搞清楚“湊”的步驟：先湊出1，再湊+■，最后湊指數部分。

【解】■■x=■1-■x=■■=■■■1+■-1=e-2

七、用等價無窮小量代換求極限

【說明】

1.常見等價無窮小有：

當x→0時，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～ex-1，

1-cosx～■x2，（1+ax）b-1～abx。

2.等價無窮小量代換，只能代換極限式中的因式。

3.此方法在各種求極限的方法中應作為首選。

例7：求極限■■

【分析】當x→0時1-cosx～■x2，sinx～x，tanx～x

【解】■■=■■=■

八、運用函數連續性求極限

例8：求極限■ln[cos（x-1）]

【分析】利用函數連續性的遞推性求極限。

【解】■ln[cos（x-1）]=ln[■cos（x-1）]=ln1=0

九、利用導數定義求極限

例9：求極限■■

【分析】（sinx）′=cosx

【解】■■=■■=■=cos■=0

十、用羅必塔法則求極限

例10：求極限■■

【分析】■或■型的極限，可通過羅必塔法則來求解。

【解】■■=■■=■