論高職高數(shù)教學中一元函數(shù)微分公式形式不變性

[摘 要] 通過對求導公式形式不變性的提出，給出了一階求導公式的一般形式，引申出復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導公式一般形式，溝通與微分形式不變性之間的聯(lián)系和一致性，降低學生學習難度，提高其學習興趣。

[關 鍵 詞] 公式形式不變性；求導公式一般形式；高職高數(shù)教學

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）24-0042-02

在職業(yè)院校中，由于學生自身的學習能力相對較弱、數(shù)學基礎參差不齊，勢必給高職高數(shù)教學帶來極大的難度。但如果過度降低教學的難度，又不利于學生基礎素質(zhì)的提高，也不利于學生將來進一步發(fā)展深造。本文通過總結調(diào)查問卷及學生數(shù)學素質(zhì)的實際，結合高職高數(shù)教學中對高數(shù)一元函數(shù)微積分的教材教學處理對高職院校高等數(shù)學教學進行探討。

一、學生高數(shù)學習調(diào)查問卷匯總

本次調(diào)查問卷主要以2016級在校學生為主，2015級學生為輔。本次調(diào)研問卷共在校內(nèi)發(fā)放1750份，回收有效問卷1421份，無效問卷329份。

二、高職學生高數(shù)學習現(xiàn)狀況

從學生入學方式看，高職學生主要是高中或中專類的畢業(yè)生，學生綜合素質(zhì)較高并有一定的專業(yè)知識；而五年制及單獨招生學生整體素質(zhì)較差，基礎參差不齊。并且中等職業(yè)教育課程及知識體系與高職教育的課程知識體系也缺乏配合、交流和銜接。因為文化基礎知識體系相對不完整，基本素質(zhì)、理解能力和邏輯推理、歸納演繹能力都較差，導致高數(shù)教學效果每況愈下，不及格率也居高不下。由調(diào)查問卷情況看，高職學生中普遍存在的不知道怎樣學習高數(shù)？應學習什么？同時，由于學生的學習習慣，忽視了高數(shù)教育的文化素質(zhì)性，使數(shù)學學習變得單調(diào)、枯燥，因而造成學生學習高數(shù)的畏難情緒，甚至部分學生完全放棄，失去了學習高數(shù)的自信心。

教學是“教”與“學”的統(tǒng)一體，是并舉并重的。針對目前高職學生的學習現(xiàn)狀，在教學中怎樣去做？高職高數(shù)教學中怎樣做才能適應高職學生的情況，才能提高教學質(zhì)量并順利達到教學目的和提高學生學習高數(shù)的興趣呢？

三、一元函數(shù)的導數(shù)公式形式不變性

導數(shù)基本公式是微積分學中重要的基礎，科學理解基本公式形式及其與復合函數(shù)求導法則的邏輯關系對后繼內(nèi)容學習具有舉足輕重的作用，尤其對于隱函數(shù)。而目前的教材中，由導數(shù)基本公式到復合函數(shù)求導法則過渡的表現(xiàn)形式不一致，從而導致學生理解公式法則困惑、邏輯思維不嚴謹，導致運用混亂，并造成學生對微分理解的困難。為此，筆者給出一階導數(shù)公式形式不變性概念及導數(shù)基本公式的一般形式。從而為理解掌握微分奠定基礎。

在高校的數(shù)學分析、高等數(shù)學相關教材的編寫和修訂過程中，導數(shù)基本公式形式一直沒有變化。如導數(shù)基本公式為：

（xμ）′=μxμ-1，（ex）′=ex，（lnx）′=■，（sinx）′=cosx （1）

復合函數(shù)求導法則為：

定理1 設函數(shù)y=f（u）在u點可導，函數(shù)u=g（x）在點x可導，則復合函數(shù)y=f（g（x））在點x可導且有■=■■，■=f ′（u）·g ′（x），或■=■·■. （2）

教材中對基本公式和法則有詳略得當?shù)拿枋觯脚c法則之間缺乏形式上的聯(lián)系，引起學生理解上的困惑，甚至不理解，進而導致學習隱函數(shù)導數(shù)和微分的困難，同時導致學生出現(xiàn)解題格式錯誤或步驟不完整及解題錯誤等現(xiàn)象。

例1：求y=lnsin（1-x）的導數(shù)

解：y=■·[sin（1-x）]′ （3）

=■·cos（1-x）·（1-x）′ （4）

=-■ （5）

=-tan（1-x）

在解題過程中經(jīng)常寫錯或丟掉中間變量的導數(shù)，如（3）寫成

y′=■·[sin（1-x）]′·（1-x）′或（4）寫成y′=■·（1-x）′

例2：求由方程y2=1-xey確定的函數(shù)的導數(shù)y′.

解：對方程兩邊同時求關于x導數(shù)

（y2）′=（1-xey）′， （y2）′=1′-（x）′ey-x（ey）′，（6）

2yy′=-ey-xey·y′，（7） （2y+xey）·y′=-ey

解得 y′=■

在解題過程中經(jīng)常存在丟掉y′的現(xiàn)象，如常錯誤地把（7）寫成2y=-ey-xey·y′或2y·y′=-ey-xey

此現(xiàn)象對于學習高等數(shù)學的高職院校學生來說更是普遍。從（3）到（4）易出錯及（6）到（7）學生不知所以然，其主觀原因在于學生不能把導數(shù)基本公式與復合函數(shù)求導法則聯(lián)系起來使用；客觀原因是教材中缺乏基本公式（1）與復合函數(shù)求導法則（2）的聯(lián)系及形式不一致。如基本公式（1）中沒有出現(xiàn)x′，以至于部分學生能綜合使用基本公式但不能準確熟練運用復合求導法則，從而出現(xiàn)如上錯誤。從學生角度講，這種現(xiàn)象會強化數(shù)學內(nèi)容的抽象性，影響或降低學生學習數(shù)學的積極性和興趣；從能力培養(yǎng)角度看，過渡形式不一致使學生邏輯思維能力培養(yǎng)速度得不到有效提高。而教材作為重要學習材料，對學生學習影響力不可忽視，因此修訂或補充說明導數(shù)基本公式形式具有重要作用。

（一）一元函數(shù)導數(shù)公式形式不變性

為了學生易于理解和掌握求導法則，先將公式變形為：

（xμ）′=μxμ-1·x′ （ex）′=ex·x′ （lnx）′=■·x′

（sinx）′=cosx·x′ （tanx）′=sec2x·x′ （secx）′=secxtanx·x′

（arcsinx）′=■·x′ （arctanx）′=■·x′

上列諸式總稱為（8）式。將公式中的變量x用變量u替換有：

（uμ）′=μuμ-1·u′ （eu）′=eu·u′ （lnu）′=■·u′

（sinu）′=cosu·u′ （secu）′=secutanu·u′ （tanu）′=sec2u·u′

（arcsinu）′=■·u′ （arctanu）′=■·u′

上列諸式總稱為（9）式。

顯然：若u為自變量，則公式（9）中的u′=1，就是公式（8）即復合函數(shù)求導法則的具體形式就是文獻中的導數(shù)基本公式形式；若u不是自變量，則進一步求中間變量u的導數(shù)，直至自變量結束。

因此，定理1可以改寫為如下形式：

定理：若函數(shù)y=f（u）在點u可導，則y′=f ′（u）·u′ （10）

證明（略）

注：若u不是自變量，可設u=？漬（x）且函數(shù)u=？漬（x）在點x可導，則復合函數(shù)y=f[？漬（x）]在點x可導，且其導數(shù)為y′=f ′（u）·？漬′（x）·x′=f ′（u）·？漬′（x）.

若u是自變量，則u′=1.且（10）式變?yōu)閥′=f ′（u）.

定理1′說明：無論u是自變量還是中間變量或另一個變量的函數(shù)，（9）、（10）式保持公式形式不變。這一性質(zhì)稱為一階導數(shù)公式形式不變性。

推論1：復合函數(shù)求導法則（定理1′）一般形式：詳見公式（9）（公式中u為變量，其他量為常量）。

即任意一個變量的函數(shù)都具有該性質(zhì)。若變量為y，則有

推論2：隱函數(shù)求導法則（公式中y為變量，且是x的函數(shù)，其他量為常量）：

（yμ）′=μyμ-1·y′ （ey）′=ey·y′ （lny）′=■·y′

（siny）′=cosy·y′ （secy）′=secytany·y′ （tany）′=sec2y·y′

（arcsiny）′=■·y′ （arctany）′=■·y′

以上諸式為（11）式，稱為隱函數(shù)的一階導數(shù)求導公式。也稱為隱函數(shù)一階導數(shù)公式形式不變性。即（11）式是（9）式的變形。

因此，（9）式是導數(shù)基本公式的一般形式。而（11）式又給出了隱函數(shù)求導公式，這樣由導數(shù)基本公式到復合函數(shù)求導法則過渡就保持了一致性。同時闡述了隱函數(shù)求導的根本原則就是復合函數(shù)求導法則，并簡化了復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導過程和理解，只要遵循公式（9）、（11）就避免了易錯易漏項的出現(xiàn)。

例3：xy=yx，求y′

解：取對數(shù)ylnx=xlny套用公式（11）

y′lnx+y■=lny+x■y′ 即y′=■

（二）一元函數(shù)的微分形式不變性

由于可微與可導是等價的，由公式（9）相應的可得微分公式

d（uμ）′=μuμ-1·du d（eu）′=eu·du d（lnu）=■·du

d（sinu）=cosu·du d（secu）=secutanu·du d（tanu）=sec2u·du

d（arcsinu）=■·du d（arctanu）=■·du

上列諸式總稱為（12）式。

顯然：若u為自變量，則公式（12）中的du=1·dx，就是復合函數(shù)微分法則的具體形式，也是文獻中的微分基本公式形式；若u不是自變量，則進一步求中間變量u的微分，直至自變量結束。（12）式就是復合函數(shù)微分公式一般形式。即任意一個變量的函數(shù)都具有該性質(zhì)。

例4：y=exlnx，求dy

解：套公式（12）

dy=dexlnx=exlnxd（xlnx）=exlnx（lnxdx+xdlnx）=exlnx（1+lnx）dx

例5：y=■（x>0） 求dy

解：取對數(shù)lny=■lnx

套公式（12） dlny=d（■lnx）=lnxd■+■dlnx

■dy=lnx（-■）dx+■（■）dx=■（1-lnx）dx

dy=■（1-lnx）ydx=■（1-lnx）dx

推論3：設y=f（u），無論u是自變量還是中間變量（即變量的函數(shù)），微分形式dy=f ′（u）du保持不變。

這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性。性質(zhì)表示，當變換自變量時微分形式dy=f ′（u）du保持不變。

教材通過這一系列的處理，簡化了理解的難度，加強了知識點間的聯(lián)系與溝通，使形式不變性的概念的形成和引出變得自然流暢。同時保持理論和概念的前后一致性。

四、結束語

通過提出一元函數(shù)的導數(shù)（或微分）形式不變性概念，給出復合函數(shù)求導（或微分）法則一般形式，在一定程度上解決了學生學習微分學過程中認識上和邏輯思維上存在的困惑或障礙，課堂教學效率得到了明顯的提高，學生解題步驟不完整現(xiàn)象得到一定改善。也使學生對一階微分形式不變性理解和掌握更透徹。兩者相輔相成相互加深理解。但最主要的是體現(xiàn)了“平等與公平”地對待因變量和自變量，提出了平等對待變量的思想和方法，解決了只知道對于自變量x而言x′=1而對于因變量y來說y′=1一般不成立。同時，為學習微分及理解和掌握微分形式不變性奠定了基礎，并與微分公式形式不變性的學習保持了一致性，知識前后呼應增加了教材的可讀性，提高了學生學習數(shù)學的積極性和興趣。也為繼續(xù)學習積分學提供了方法和思想。關鍵是教材通過這樣處理從表象和形式上揭示：（1）可微與可導的一致性和等價性，對于可微與可導是等價的結論推出水到渠成。（2）從本質(zhì)上告訴學生凡是變量的求導與微分必須遵守公式（9）與（12），與函數(shù)及變量采用的字母無關，公式形式不變。

總之，這樣處理教材，筆者認為不僅適合高職學生，對于非數(shù)學專業(yè)的普通本科學生也是非常適用的，對于高素質(zhì)的本科院校學生也有一定的參考價值。顯然，形式不變性思想也可繼續(xù)拓展，本文不再贅敘。