淺談復(fù)合函數(shù)的地位和認(rèn)識(shí)

摘 要：高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)部分無(wú)疑是代數(shù)中的重中之重，其中對(duì)函數(shù)的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)應(yīng)放在第一位。僅靠七個(gè)基本初等函數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí)和研究函數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因?yàn)楦嗟暮瘮?shù)結(jié)構(gòu)和復(fù)合函數(shù)息息相關(guān)，因此復(fù)合函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位。但是復(fù)合函數(shù)本身又有很多限制，幾十年來(lái)高考復(fù)習(xí)中也出現(xiàn)了很多錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)對(duì)復(fù)合函數(shù)的正確認(rèn)識(shí)和研究顯得尤為重要，文章即針對(duì)復(fù)合函數(shù)的地位和認(rèn)識(shí)問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)探討。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；復(fù)合函數(shù)；高考試題

一、尋源

恢復(fù)高考后且在2000年前，高考數(shù)學(xué)理科試題出現(xiàn)了以下與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的試題。

1985年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題（理科）第3題是：

在下面給出的函數(shù)中哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間0，上的增函數(shù)又是以π為周期的偶函數(shù)？（ ）

A. y=x2（x∈R） B. y=sin x（x∈R）

C. y=cos2x（x∈R）D. y=esin2x（x∈R）

1987年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題（理科）第5題是：

在區(qū)間-∞，0上為增函數(shù)的是（ ）

A. y=-log（-x） B. y=

C. y=-（x+1）2 D. y=1+x2

1989年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題（理科）第11題是：

已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（ ）

A. 在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)

B. 在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)

C. 在區(qū)間（-2，0）上是增函數(shù)

D. 在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)

1995年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題（理科）第11題是：

已知y=logɑ（2-ɑx）在[0，1]上是x的減函數(shù)，則ɑ的取值范圍是（ ）

A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2） D. [2，+∞）

1998年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題（文史類(lèi)）第2題是：

函數(shù)y=a|x|（a>1）的圖像是（ ）

五次出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)試題，其考察的形式多樣，1985、1987、1989年試題研究的是單調(diào)性問(wèn)題；1995年試題雖然也是研究單調(diào)性問(wèn)題，但和前面三次不同，在單調(diào)性下求范圍問(wèn)題應(yīng)屬綜合應(yīng)用；1998年是有關(guān)復(fù)合函數(shù)的圖像問(wèn)題。

二、提出問(wèn)題

在高一學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，以及高三第一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，都會(huì)遇到以下問(wèn)題組。

問(wèn)題一：

（1）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），求函數(shù)f（x-1）+f（1-2x）的定義域。

（2）已知函數(shù)f（x-1）的定義域?yàn)椋?1，2），求函數(shù)f（x）的定義域。

（3）已知函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)椋?2，0），求函數(shù)f（1-3x）的定義域。

顯然以上三個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)，既不是具體背景的函數(shù)，也不是給出解析式的函數(shù)，解決這三個(gè)問(wèn)題的定義域問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)是什么？從函數(shù)結(jié)構(gòu)上來(lái)看，它們都是復(fù)合函數(shù)，對(duì)于復(fù)合函數(shù)而言，有以下認(rèn)識(shí)：已知函數(shù)f（g（x））的定義域，求f（x）的定義域等價(jià)于求g（x）的值域，基本上全國(guó)99%的老師們都是這樣理解且講給學(xué)生聽(tīng)的，可是這樣的認(rèn)識(shí)存在嚴(yán)重的邏輯問(wèn)題。設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，g（x）的值域?yàn)镋，只要ED即可。也就是說(shuō)，g（x）的值域只是映射f作用于原象取值（定義域）的子集就可以了，從邏輯上看，根本無(wú)法確定f（x）的定義域。

三、解決問(wèn)題

既然有以上那么多的復(fù)合函數(shù)的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，那什么時(shí)候適合引入復(fù)合函數(shù)，關(guān)注復(fù)合函數(shù)哪些方面的應(yīng)用呢？

（一）復(fù)合函數(shù)的引入思考一

現(xiàn)在的問(wèn)題是，要不要引入復(fù)合函數(shù)呢？答案是肯定的，因?yàn)樵谌私藺版選修2-2中，讓學(xué)生思考如何求函數(shù)y=ln（x+2）的導(dǎo)數(shù)。我們無(wú)法用現(xiàn)成的方法求函數(shù)y=ln（x+2）的導(dǎo)數(shù)，于是，我們先分析這個(gè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：

若設(shè)u=x+2（x>-2），則y=lnu，從而y=ln（x+2）可以看成是由y=lnu和u=x+2（x>-2）經(jīng)過(guò)“復(fù)合”得到的。即y可以通過(guò)中間變量u表示為自變量x的函數(shù)。如果把y與u的關(guān)系記作y=lnu，u和x的關(guān)系記作u=g（x），那么這個(gè)“復(fù)合”過(guò)程可表示為：y=f（u）=f（g（x））=ln（x+2）。我們遇到的許多函數(shù)都可以看成是由兩個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)“復(fù)合”得到的。例如，函數(shù)y=（2x+3）2由y=u2和u=2x+3“復(fù)合”而成，等等。

（二）復(fù)合函數(shù)的引入思考二

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則是：同增異減。因?yàn)閷W(xué)完導(dǎo)數(shù)后對(duì)這樣的問(wèn)題進(jìn)行求導(dǎo)面臨著簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化的問(wèn)題，而復(fù)合函數(shù)的研究就是一種很好的途徑，并且其理論使用是沒(méi)有問(wèn)題的。

基于以上認(rèn)識(shí)，在引入復(fù)合函數(shù)時(shí)要慎重，對(duì)復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題最好做到：能回避的盡量回避，需要研究的還需認(rèn)真研究。這樣道理會(huì)講得清楚些。

（三）復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用

通過(guò)以上題組的分析，復(fù)合函數(shù)適用于研究其結(jié)構(gòu)形式下的復(fù)雜多變的函數(shù)，對(duì)解決復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)方面的問(wèn)題十分有用，具體應(yīng)用突出在單調(diào)性、值域這些方面。

此題的求解可以從復(fù)合函數(shù)的生成、復(fù)合函數(shù)的背景、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)三個(gè)維度去思考，能夠產(chǎn)生三種求解方法，這無(wú)疑反映了復(fù)合函數(shù)的強(qiáng)大背景及功能。

四、反思問(wèn)題

（一）教材的引入

基本初等函數(shù)只有七類(lèi)，要對(duì)函數(shù)有深入的認(rèn)識(shí)就必須引入復(fù)合函數(shù)，建議在函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)拋出復(fù)合函數(shù)的概念及有關(guān)單調(diào)性的結(jié)論，使得學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到復(fù)合不僅可以生成無(wú)數(shù)多個(gè)函數(shù)，還可以有函數(shù)性質(zhì)方面的研究，在接觸相關(guān)問(wèn)題時(shí)就有章可循了。

（二）數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性

一直以來(lái)，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)思維的重要方面之一，教師更要對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)全方位的認(rèn)識(shí)，不盲從一些教材或資料，要從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上去認(rèn)識(shí)和思考問(wèn)題，特別是現(xiàn)在提到的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中的“數(shù)學(xué)推理”無(wú)疑是最能體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性的了。

（三）教學(xué)的處理

因?qū)W生思維發(fā)展的延續(xù)性等方面的問(wèn)題，高中有很多數(shù)學(xué)概念是模糊的，教師在處理這些方面的問(wèn)題時(shí)，一方面要明確什么時(shí)間引入合適，有時(shí)不一定要按教材的順序，只要學(xué)生認(rèn)知方面沒(méi)問(wèn)題就可以考慮引入；另一方面要處理好認(rèn)識(shí)和應(yīng)用的關(guān)系，認(rèn)識(shí)不一定是深層次的，比如導(dǎo)數(shù)的引入，高中階段沒(méi)有涉及極限就引入導(dǎo)數(shù)了，因?yàn)榻滩脑谶@方面的處理是：關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的內(nèi)容，大學(xué)可以完成理論的構(gòu)建和進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。因此，教師不應(yīng)鉆牛角尖，不應(yīng)把不必要的問(wèn)題（極限方面）夸大化。教學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，需要教師精心研究教材與教法，才能從一定高度上去做好教學(xué)的合適處理。

（四）函數(shù)的定義域

定義域是函數(shù)概念的有機(jī)組成部分，既要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)算求解，又要讓學(xué)生知道它們的意義。其實(shí)在研討事物之本質(zhì)中用到的集合，往往是由符合某種給定性質(zhì)的元素所組成的。任何一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠懻摚疾皇锹o(wú)邊際的。改用集合的觀點(diǎn)來(lái)看，即一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠懻撝校婕暗脑仄鋵?shí)是具有明確范疇的。這也是強(qiáng)調(diào)函數(shù)定義域的意義之一。對(duì)于函數(shù)的定義域的意義，教學(xué)中要通過(guò)合適的例子向?qū)W生解釋清楚，絕不能產(chǎn)生錯(cuò)誤的解讀和造成錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。

復(fù)合函數(shù)的地位是重要的，通過(guò)以上問(wèn)題的分析，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，引入要適宜，使用要慎重，只有這樣才能傳遞給學(xué)生科學(xué)的認(rèn)識(shí)。