結合函數思想巧解數列問題探究

翟麗娟

摘 要：數列問題是中職數學中的難點，數列與函數之間有著千絲萬縷的聯系，即數列就是一種特殊的函數。那么，在遇到有關數列類問題時，結合函數思想，就會收獲事半功倍的效果。文章從結合函數解析式、結合函數圖像特征、結合函數單調性幾方面，研究如何結合函數思想巧解數列問題。

關鍵詞：中職數學；函數思想；數列問題；聯系

中圖分類號：G712；G718.3 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）35-0074-01

數列問題是中職數學中的難點，由于數列中的每一個數都對應一個序號，同樣的道理，每個序號也都對應著一個數，因此，數列與函數之間有著千絲萬縷的聯系。通過多年的教學分析，發現在解決數列問題時，如果能夠多從函數的角度出發，學會構造函數，運用函數的觀點去研究數列中的數列關系，那么數列問題就會迎刃而解。因此，這就需要教師在教學的過程中，不斷地滲透函數思想，教會學生將數列問題函數化，加強兩者間的聯系，不斷積累經驗，解題就會更加自如。

一、 結合函數解析式，巧解數列問題

在數列學習中，要知道數列的前n項和公式Sn和通項公式an都是關于自變量n的一個函數，它的定義域就是正整數集N*或者N*的一個非空子集，那么仔細觀察函數的解析式，就會發現等差數列的前n項和公式Sn=na1+ d，以及等比數列的前n項和公式Sn= （q≠1）或者Sn=na1（q=1）中，只要令n=0，那么就會有S0=0。

例1： （1）已知等差數列{an}的前n項和Sn=（n+1）2+λ，試求λ的值。（2）已知等比數列{an}的前n項和Sn=3n+a，試求a的值。

解析：根據題意，學生們拿到題目之后，會利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2這種常規方法求解，但是由于本題是道填空題，因此，利用S0=0，將會提高解題效率。（1）因為在等差數列{an}中，S0=0，所以（0+1）2+λ=0，故λ=-1；（2）因為在等比數列{an}中，S0=0，所以30+a=0，故a=-1。

點撥：在本道題中，因為是填空題，還有條件已經給出是等差數列或者等比數列，于是我們利用S0=0，更加方便解題，但是需要學生們注意的是，如果沒有先前的條件，只是說數列前n項和滿足S0=0，那么該數列就未必是等差或者等比數列。

二、 結合函數圖像特征，巧解數列問題

函數的圖像特征比較能直觀地看出函數的信息，因此，在解數列問題時，將對解題起到很大的幫助。學生們需要知道：在公差d不為零的等差數列中，前n項和公式Sn=na1+ d= n2+a1- n是關于n的二次函數，那么點（n，Sn）就在過原點的拋物線y= x2+a1- x上。

例2：在等差數列{an}中，a1<0，Sn為其前n項和，已知S4=S9，當Sn最小時，試求n的值。

解析：根據題意，可知等差數列{an}的公差d>0，那么點（n，Sn）就在過原點且開口向上的拋物線y= x2+a1- x上，于是結合二次函數圖形特征，根據其對稱性就有對稱軸為x= ，又因為n是正整數，所以Sn最小值為S6和S7，因此，當Sn最小時，n的值為6和7。

點撥：本道題結合了二次函數去求解，巧妙化解了數列難題，因此，在等差數列的前n項和Sn的最值問題上，可從Sn的圖像以及性質上進行研究，既直觀明了，又提高了解題效率。

三、結合函數單調性，巧解數列問題

單調性是研究函數思想的主要方向之一，也是函數思想的主要特征，在求解數列的最值問題中或者已知數列的單調性問題中，學生們如果能夠構造函數，利用函數的單調性進行求解，難題就會不攻自破，同時研究函數的單調性將不斷強化學生的思維能力，提高學生的思維品質。

例3：已知an= （n∈N*），試求數列{an}的最大項與最小項。

解析：根據題意，可知an= =1+ ，于是令f（x）=1+ （x>0），那么當x∈（0， ）時，f（x）單調遞減，并且f（x）<1；當x∈（ ，+∞）時，f（x）單調遞減，并且f（x）>1，因此數列{an}滿足：當n≤8時，an<1并且an單調遞減；當n≥9時，an>1并且an單調遞減，故a9>a10>…>1>a1>a2>…>a8，即數列{an}的最大項為a9= ，最小項為a8= 。

點撥：本道數列題從構造函數的角度出發，運用函數的單調性去解決數列的單調性和最值問題，需要注意的是要關注數列{an}中n的取值的特殊性。

四、結束語

總之，學生們在面對數列問題時，要能夠首先想到結合函數的思想，運用函數的解析式、圖像特征以及函數的單調性去化解數列難題，深刻剖析函數與數列之間的關系，只有掌握了兩者間的信息，解起題來才能得心應手，隨機應變。

參考文獻：

[1]嚴麗娟.中職數學數列教學的創新思路研究[J].新課程研究，2014（11）.

[2]許景彥.利用函數思想 巧解數列問題[J].石家莊職業技術學院學報，2010（06）.endprint