淺談“兩角差的余弦公式”之推導

數學思想方法的滲透，有助于我們理性數學思維能力的提高，從而提高我們在對問題進行分析、解決的能力。“兩角差的余弦公式”在推導過程中具有重要的教育價值，蘊涵著換一個角度看問題的轉換思想，是數學家創造發明的法寶，也是我們進行再發現、再創造活動的探索方式。本文針對 “兩角差的余弦公式的推導”章節進行學習，分析并推導兩角差的余弦公式，實踐檢驗。

筆者在近年來的各省數學高考試卷中發現，經常會出現考查數學教材中相關公式或定理的證明試題，比如證明兩角和的余弦公式及余弦定理等等。因而在學習“兩角差的余弦公式”這一章節時，較為注重對余弦公式生成及證明過程的學習。“兩角差的余弦公式”屬于《三角恒等變換》中出現的第一個公式，因而是推證其它公式的基礎，教材首先給出幾何法的推導證明，然后采用向量法對公式進行推導及證明。現對 “兩角差的余弦公式”的推導方式進行如下分析。

1 公式推導

1.1動手實踐推導

在數學學習中強調動手與動腦并重的觀點，因此在學習的過程中可以在動手操作的基礎上推導兩銳角差的余弦公式。如圖 1所示：

用圖1 中兩塊三角板拼出不同角度，是否利用兩塊三角板拼出如圖2、圖3的圖形，并求出cos15°的值。并思考將上面45°及30°角改成銳角α與β，能否求出cos（α-β）值。

1.2 三角起源弦圖

《數學匯編》中曾給出如下命題，如圖4所示。將設H是以AB為直徑半圓上的一點，CE則是半圓在點H處的一條切線，其中CH=HE。EF與CD是AB的垂線，其中D、F為垂足，則表明AB·DF=（CD+EF）·CE，從中我們可以出的兩銳角差的余弦公式。

因而可以設∠HOF=α，∠COH=β，對∠EOF采用α及β來表示。進而可以將OE=OC=1，然后表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β），根據此可以探究出cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ之間的關系。

通過推導，可以在學習的過程中了解數學也是一種文化，因而在學習的過程中可以適當地了解數學史知識，從中領悟到數學的美學價值，最終提高自身的數學文化素養。由于三角學具有源遠流長的歷史文化，主要起源于力法推算以及天文觀測，屬于幾何問題代數化的典型案例。因此，在學習三角函數的過程中融入三角學歷史知識，能夠使我們在探究活動中充滿濃郁的文化氣息，更好地掌握學習知識。

1.3 面積中隱含的變換

“兩角差的余弦公式”推導過程中通過各種奇妙的變換，可以在普通的圖形中找到其推導公式，如圖5所示。

2 角度范圍推廣

2.1 誘導公式化角變換

在三角學習的過程中，有一部分學生沒有重點關注到“誘導公式”強大功能，在解題的過程中僅僅只記住了“奇變偶不變，符號看象限”定義，僅僅要求能夠在解題的過程中熟練運用誘導公式。但蘊含于誘導公式中的數學本質是“化角變換”，通過誘導公式可以將任意角轉化為0 ～ 2π之間的角， 并且能夠在此基礎上進一步將π/2～ 2π之間的角轉化為0 ～π/2之間的角。因此，通過誘導公式可以將“兩任意角差的余弦”轉化為 “兩銳角差的余弦”。

2.2 向量中變換

眾所周知，向量是聯系幾何、代數以及 三角之間的橋梁，屬于現代數學中重要的工具，通過向量可以簡單化一些復雜的問題。在人教版的教材中將《三角恒等變換》置于《平面向量》之后，并對“兩任意角差的余弦公式”采用向量數量積運算進行簡潔證明。此證明過程是以運動、變化觀點來對數學問題進行研究，因而不僅能夠更好地促進我們對數學認知結構的發展，也能幫助我們逐步地學會采用辯證法的觀點對問題進行思考、分析及解決。

3“兩角差的余弦公式”推導重要性

3.1 將課標課程與大綱教材進行比較可以得出，在對三角恒等變換這一章節的內容進行學習的過程中，其內容及理念均發生了較大的變化。在學習完三角函數后，便開始學習三角恒等變換，而在課標課程中三角恒等變換章節后插入了平面向量的學習，主要的目的在于讓學生利用向量對兩角差的余弦公式進行證明。因此，在學習的過程中我們應該領會編寫的意圖，并品出其中所包含的內含義，悟出其中精髓，才能從教材中汲取更多知識。大綱教材在推導公式的過程中所采用的是兩點間距離公式，在推導的過程中更加注重培養學生數學的邏輯推理；而課標教材則對幾何法點到為止，在推導的過程中更加突出對建立公式過程的探索及公式證明的簡潔，在其中體現出了向量作用。原因可能在于以下兩點：其一，更加注重前后章節內容的聯系，從中揭示出數學的本質；第二，加強學生幾何直觀，更加注重培養學生數形結合的思想；第三，加強公式的發現及探索過程。

3.2 數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，其知識具有較為明顯的策略性，但在教材中一般并未明確指出。數學思想方法的滲透，有助于我們理性數學思維能力的提高，從而提高我們在對問題進行分析、解決的能力。“兩角差的余弦公式”在推導過程中具有重要的教育價值，蘊涵著換一個角度看問題的轉換思想，是數學家創造發明的法寶，也是我們進行再發現、再創造活動的探索方式。并且在推導的過程中滲透分類討論的思想及數形結合思想，通過詳細完整的分類，能夠提高我們的討論意識；而通過圖形呈現的方式，有助于我們更好地理解問題的本質。

4 結束語

一部分學生在學習的過程中認為“兩角差余弦公式”推導過程并不重要，認為重要的是學會在解題的過程中更好地運用公式。但從各種變換的角度對兩角差的余弦公式推導過程中發現，推導的過程中蘊含著豐富的數學思想，若是在公式推導環節的學習中加以重視，想必能夠顯著地提高學生對余弦公式的理解。通過推導，可以在學習的過程中了解數學也是一種文化，因而在學習的過程中可以適當地了解數學史知識，從中領悟到數學的美學價值，最終提高自身的數學文化素養。除此之外，在解題的過程中能夠更好地應用公式，從中能夠發現問題的本質，最終提高學生學習效率。