不同驅動力下物理擺運動研究

物理擺動是生活中最常見的運動。大家都知道，物理現象普遍存在我們的生活中?；镜奈锢頂[動包括簡諧運動、阻尼運動、受迫運動等等。對于生活中典型的擺動，運用基礎的物理知識，分析及運算，得出正確的答案和模擬方案。然后用簡單的計算機語言，充分、形象的描述這個擺動過程中各個時期的擺動狀況，是我們這次研究的最主要目的。

物理擺動普遍存在于生活中。因為有種種外有作用力的存在，運用能量守恒的知識我們便可發現，對于我們生活在地球上來說，永恒的擺動是不可存在的。簡單的概括，可以包括：簡諧運動、阻尼運動和受迫運動。本文中我們列舉了幾種不同驅動力下不同物理擺動的模擬，來一個個認知我們生活中的這些物理擺動。借助于計算機強大的輔助功能，能讓我們更清楚全面的了解物理擺動。

1 簡諧運動

1.1 理想條件下的單擺模擬

1.1.1 理想模型

理想模型是為了便于研究而建立的一種高度抽象的理想客體。更是為了方便實驗和利于計算按實驗數據，主觀方面省去了很多阻礙實驗的數據，將它們全部排出在外。

1.1.2 單擺的組成

假設單擺的繩子不可伸長，且質量不計，線長又比球的直徑大得多。排除空氣阻力及其一切內摩擦力，統一重力加速度 。當單擺的最大擺角小于5°時，單擺的振動近似為簡諧運動。單擺運動的周期公式：

（1-1）

其中 指擺長， 是當地重力加速度。單擺做簡諧運動的周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、擺球的質量無關。

1.2 簡諧運動動力學方程

簡諧波是簡諧振動在彈性介質中的傳播。波源沿y方向振動，波在z軸上傳播的平面簡諧波方程為：

（1-2）

式（2-2）描述了介質中各體元在各時刻的振動情形。當變量 取一定值 時，方程只描述介質中 處一個體元的簡諧振動，式（1-2）變為：

（1-3）

即為 處體元的振動方程。

當變量 取一定值 時，則方程所表達的是在 ，時刻介質中各個體元的瞬時狀態。式（1-2）變為：

（1-4）

即為 時刻的波形方程。

1.3 簡諧運動振幅時間圖像

設定單擺的周期為T，最大振幅為A，我們建立A關于T的一個函數，擬定程序后，計算機處理的圖像如下：

圖1 簡諧運動振幅——時間圖像

由圖像可知，單擺在一個周期T完成了一次全振動，之后重復振動，這樣的運動我們叫做簡諧運動。

2 阻尼振動

振動系統的無阻尼振動時對實際問題的理論抽象。如果現實世界沒有阻止運動的能力的話，整個世界將處在無休止的振動中?？陀^世界是和諧的，有振動又有阻尼，保證了我們生活在一個相對安靜的世界里。本章中，我們對單擺施加一個空氣阻尼，來完成阻尼振動的實驗模擬。

2.1 空氣阻力

空氣阻力指空氣對運動物體的阻礙力，是運動物體受到空氣的彈力而產生的?？諝庾枇Ω俣鹊钠椒匠烧?，速度越大，空氣阻力越大。

根據空氣阻力的公式：

（2-1）

式中：C為空氣阻力系數； 為空氣密度；S物體迎風面積；V為物體與空氣的相對運動速度。由上式可知，正常情況下空氣阻力的大小與空氣阻力系數及迎風面積成正比，與速度平方成正比。

2.2 阻尼振動微分方程

阻尼振動微分方程：

（2-2）

單擺在受空氣阻尼的情況下，C表示空氣的阻尼系數，k可以用重力加速度g表示。考慮到單擺的初始條件，

（2-3）

解得： 。其中 （單擺系統的阻尼比）， （單擺系統的固有頻率）， （空氣阻尼系數）。

當 不同，其他條件都相同時， 越大周期越長，而初相位會越來越小，振幅改變的幅度越來越小。當只有 改變時， 越大振幅改變的幅度越來越大，和周期和初相位無關系。當只有 改變時， 越大初相位也越來越大，周期越來越小。

3 受迫振動

3.1 簡諧強迫振動

簡諧強迫振動指激勵是時間簡諧函數，它在工程結構的振動中經常發生，它通常是由旋轉機械失衡造成的。簡諧強迫振動的理論是分析周期激勵以及非周期激勵下系統響應的基礎。通過分析系統所受的簡諧激勵與系統響應的關系，可以估計測定系統的振動參數，從而確定系統的振動特性。

3.3 能量關系與等效阻尼

3.3.1 能量關系

從能量角度看，簡諧強迫振動全過程有點像汽車的運動。當在一個周期內外力對系統所作的功與系統消耗的能量相等時，系統做穩態振動。對于無阻尼系統，由于無阻尼，振動時無能量消耗。當激勵頻率 無能量輸入，外力對系統不做功。當 時，外力對系統做功，使系統能量越來越大，以致振動的振幅越來越大。

3.3.2 等效阻尼

振動時振動能量的耗散有各種的形式，并且與許多因素有關，處理起來比較復雜。在線性振動理論中，通常把其形式的阻尼等效為黏性阻尼，以使阻尼力線性化，得到等效的線性系統。其方法是，假定系統做簡諧振動，令原系統耗散的能量與黏性阻尼耗散的能量等效通過，從而求出等效阻尼系數。

三個參數不同初相位、幅不同以外，其他大致一致，且周期相同。那么可以看出：阻尼振動周期是由外力的周期決定的，但是系統的能量并不是無限放大的，最后還是做類似于簡諧運動的受迫振動。

物理擺是生活中最常見的物理現象，不同的驅動力下能出現不同的物理擺動。第二章中我們介紹了簡諧振動及其基本特征，第三章中我們增加了一個空氣阻力，以此制造了一個阻尼振動，更詳細的分析了阻尼振動的種種性質。第四章中又引進了外力，從受迫振動微分方程出發，以及能量的角度，多方面闡述了簡諧強迫振動。從現象認知本質，再從本質理解現象，這個是我們物理歷史中進步的源泉。