數形結合：小學數學問題教學的秘鑰

黃曉華

（閩侯縣南嶼中心小學，福建 閩侯 350109）

數形結合：小學數學問題教學的秘鑰

黃曉華

（閩侯縣南嶼中心小學，福建 閩侯 350109）

數形結合是一種重要的數學思想方法，它是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象問題直觀化，枯燥問題趣味化，復雜問題簡單化，隱性問題顯性化，提高學生的理解能力，為問題的解決提供簡捷明了的途徑。教師在教學中有意識地滲透數學思想方法，有助于學生掌握新知，更好地建構知識體系，養成數學思考的習慣，讓學生面對問題時能夠靈活地運用數形結合的思想方法，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養。

數形結合；數量關系；解決問題

數形結合是重要的數學思想方法，也是探究新知解決問題的重要策略。數形結合就是將抽象難懂的數學語言與直觀形象的幾何圖形結合起來，利用“以形解數”或“以數輔形”的方法，從抽象到直觀，從直觀到抽象，讓抽象思維與形象思維和諧共舞，提高學生思維的靈活性和創造性，從而起到優化解題途徑的目的，是探索和解決小學數學問題的秘鑰。

一、數形結合，使抽象問題直觀化

小學低年級學生年齡小，形象思維活躍，抽象思維不足。為了便于理解抽象的數學知識，要引導學生畫示意圖幫助理解題意，讓刻板的文字變成鮮活的圖形,使抽象的數量關系變得簡單明了，生動形象地展現問題的本質，迅速找到解決問題的途徑。

例如，有這樣一道排隊問題：“從前往后數，小亮排第4個，從后往前數，小亮排第6個，這一隊共有多少人？

學生一看到題目就迫不及待地說：“一共有10人”。

教師問：“是這樣嗎？再想想。能不能把這道題的意思用圖畫出來？”

大部分學生開始動筆畫起來，接著就有學生舉手說：“老師，這一隊共有9人，你看我畫的圖。”（如下圖）

還有學生說：“對，一共有9人，算式是4+6-1=9。”“我的算式是3+1+5=9，這一隊應該有9人。”……

上述教學片段中，低年級學生對數量關系的理解存在一定的困難。教師讓學生通過畫示意圖，把“文字信息”轉化為“圖形信息”，問題就迎刃而解了。學生根據圖示分析錯因,輕而易舉地發現解決排隊問題的思路，多算要減去，少算加上。畫示意圖讓學生嘗到“數形結合”的甜頭，在今后解決問題中就能常常想到這種方法，并主動嘗試通過數形結合解決問題。

二、數形結合，使枯燥問題趣味化

現代信息技術與教材內容的整合，能有效促進數形結合，化枯燥為趣味，化靜態為動態，化抽象為具體，能挖掘教材的內在潛能，在突破難點時能起到四兩撥千斤的作用，有利于學生抽象思維和形象思維的協調發展。

例如，學習四年級上冊《積的變化規律》后，教師利用長方形面積模型進一步理解積的變化規律。首先呈現一個長方形（如圖甲），然后引導學生猜想：“當長方形的長不變時，寬擴大2倍，長方形的面積怎樣變化？當長方形的長不變時，寬縮小到原來的1/2，長方形的面積怎樣變化？”通過多媒體課件展示，學生直觀地看到：長方形的長不變時，寬擴大兩倍，圖形就增高了，面積也隨著擴大兩倍（如圖乙）；當長方形的長不變時，寬縮小到原來的1/2，圖形就變矮了，面積也縮小到原來的1/2（如圖丙）。有了這一直觀事實的呈現，學生對“積的變化規律”的認識就更加深刻。

圖1

在現代信息技術環境下，利用一些工具軟件，如幾何畫板，幫助學生在動態中觀察、探索和發現。例如，教學四年級下冊《三角形內角和》時，為了進一步驗證任意三角形的內角和都是180度，教師讓學生利用幾何畫板做一次這樣的數學實驗：在實驗中，學生通過任意改變三角形的形狀，通過鼠標拖動頂點來觀察三角形的形狀不管如何變化，三角形的內角和始終不變，從而可以直觀而自然地驗證三角形的內角和是180度。這樣不僅調動了學生的學習積極性，而且使學生對數學知識的理解更加深刻。

三、數形結合，使復雜問題簡單化

小學數學解決問題中，學生的困難是因不會分析數量關系而導致不理解題意。如果采用數形結合的方法畫出線段圖，形象地揭示出條件與條件、條件與問題之間的關系，便可以幫助學生建立正確的表象，理清數量關系，順藤摸瓜，迅速找到解決問題的思路。

例如，六年級上冊練習二第17題：“有兩筐蘋果，第一筐重30千克，如果從第一筐中取出1/2千克放入第二筐，則兩筐蘋果同樣重。兩筐蘋果一共重多少千克？”這是一道選做題，很多學生解答有困難，如果借助線段圖進行數與形的轉化，思路就豁然開朗了。教師引導學生畫線段圖（如圖2）：

圖2

根據題意，將對應的實際數量進行轉移，并保留其痕跡，根據從第一筐中取出1/2千克，放入第二筐，則兩筐蘋果同樣重。這樣一出一進，兩筐蘋果的總質量不變，但現在兩筐蘋果變得同樣重，在線段圖右端用虛線上下對齊標出。這樣一眼就看出原來第一筐比第二筐重2個1/2千克。線段圖使較復雜的數量關系變得如此清晰，解決問題變得十分容易。要求兩筐蘋果一共重多少千克？可以先求出原來兩筐各重多少千克，再相加。也可以先求出兩筐同樣重時每筐的質量，再乘2。

在這個過程中，學生親身體驗了線段圖是解決問題的好幫手。利用線段圖的橋梁作用，變“看不見”為“看得見”，直觀描述數量之間的關系，提高學生分析和解決問題的能力，同時也使學生感悟了數形結合的優勢，能在解決問題時主動養成動手畫一畫的好習慣。

四、數形結合，使隱性問題顯性化

在實際教學中，當學生遇到需要綜合運用已經學過的解決問題的知識和策略來解決生活中的實際問題時，經常會無從下手，找不到突破口。這時，如果學生能充分運用“數形結合”的方法，通過畫圖使數與形緊密結合，將隱性問題顯性化，就能很快找到解決問題的竅門，使教學事半功倍。

例如五年級下冊“打電話”：“15人的合唱隊在暑假期間接到一個緊急演出，教師要打電話盡快通知到每個隊員，如果每分鐘通知1人，請幫助教師設計一個打電話的方案，并從中尋找最優的方案。”這一綜合與實踐課，關鍵要讓學生理解打電話的各個方案并擇優，引導學生發現隱含的數學規律。當學生在研究打電話通知的方案時，由于學生已有的知識基礎和生活經驗不同，出現了不同的記錄方法，如文字記錄、畫圖記錄等。教師引導學生及時進行對比，使學生感受到在研究數學問題時，化數為形，使抽象復雜的數學問題直觀化、形象化，體會到樹狀圖對于理清思路至關重要，在這一題里起著不可替代的作用。（如圖3）

圖3

當數據比較大時,畫圖就不方便了。教師引導學生從畫圖過渡到列表（如圖4），從圖形抽象到數據，使學生的思維得到提升。通過圖示與表格相結合，引導學生發現隱含的數學規律，并運用規律解決問題。這樣，從數到圖，再從圖到數，實現數與形的相互轉化，抽象出數量關系，找到解決問題的方法。

圖4

總之，教師在教學中有意識地滲透數學思想方法，有助于學生掌握新知，更好地建構知識體系，養成數學思考的習慣，讓學生面對問題時能夠靈活地運用數形結合的思想方法，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養。

［1］教育部.義務教育數學課程標準（2011）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］侯軍波，周春萍．畫圖，架接思維與文字的橋梁［J］.小學數學教育，2016（9）.

［3］王超．追尋幾何直觀的數學價值與培養策略［J］.小學數學教育，2016（7-8）.

［4］朱玲.運用數形結合幫助解決問題［J］.小學數學教育，2016（7-8）.

陳志華）