基于旋量理論的三指機器人靈巧手逆運動學分析

裴九芳 許德章 王 海

安徽工程大學機械與汽車工程學院，蕪湖，241000

基于旋量理論的三指機器人靈巧手逆運動學分析

裴九芳 許德章 王 海

安徽工程大學機械與汽車工程學院，蕪湖，241000

為提高三指機器人靈巧手逆運動學的求解效率，提出了基于旋量理論的逆運動學新的求解算法。以Shadow三指靈巧手為例，在無法直接利用單純的Paden-Kahan 子問題求解逆運動學的條件下，食指(無名指)的逆解采用Paden-Kahan子問題與代數解相結合的算法，拇指的逆解采用數值法與Paden-Kahan子問題相結合的算法。最后通過計算實例證明了算法的有效性和可行性。該算法在保證精度的前提下，幾何意義明顯，耗費時間短，效率高。

旋量理論；靈巧手；逆運動學；Paden-Kahan子問題

0 引言

機器人靈巧手的逆運動學分析是根據各手指末端的期望位置，求解出各手指關節的轉角。機器人靈巧手的運動學逆解是其控制和抓取規劃的前提和基礎，求解算法直接影響抓取效率和控制效果。

利用旋量理論建立的機器人運動學模型，其機器人的逆運動學問題可以轉化為幾類Paden-Kahan子問題進行求解，所得逆解是解析解，沒有累計誤差，實時性高，具有明顯的幾何意義和數值穩定性，簡化了機器人運動學的分析和計算。SARIYILDIZ等[5]基于螺旋理論，以四元數為螺旋運動算子，解決了常見結構機器人的運動學逆解。TAN等[6]對Paden-Kahan子問題2進行擴展，并將其用于某種特殊結構的逆運動學求解。錢東海等[7]基于旋量理論，采用經典消元理論和Paden-Kahan子問題相結合的方法對六自由度的機械臂進行了逆運動學求解，該方法具有較強的通用性。陳慶誠等[8]針對具有特殊結構的六自由度機械臂，提出了“繞3個不相交軸旋轉”的新的逆解子問題求解算法。孫恒輝等[9]針對一種后3個旋轉關節軸線相交于一點、前3個旋轉關節軸線均不相交的6R串聯機器人，提出了一種新的 Paden-Kahan 子問題并進行了求解。呂世增等[10]基于吳方法的特征列思想，結合旋量法，對6R工業機器人進行了高效的逆解求解運算。李盛前等[11]引入希爾維斯特結式法對6R工業機器人進行逆運動學求解。

目前常見的Paden-Kahan子問題組合需要各關節軸線具有較多的交點，無法適用于所有多關節機器人結構的逆解問題。本文以Shadow 三指靈巧手為例，食指(無名指)采用Paden-Kahan子問題與代數解相結合的算法求得逆解，拇指則采用Paden-Kahan子問題與數值解相結合的算法。最后通過實例證明了該算法的正確性。該算法在保證精度的前提下，計算量小、效率高。

1 基于旋量理論的運動學模型

當一剛體既繞軸線ω(ω∈R3)轉動(轉動角度為θ)，又沿平行于ω軸方向移動(移動線速度為v)，如圖1所示，則剛體的變換可以用矩陣指數形式表示為

(1)

(2)

v=-ω×q

圖1 剛體的旋量運動Fig.1 Screw motion of a rigid body

ω=0時

ω≠0時

(3)

n自由度任意開鏈機器人的運動學正解映射可表示為gst:se(3)→SE(3)，其中，se(3)和SE(3)分別為李代數和李群，代表旋量的集合和剛體變換的集合，則機器人運動學正解的指數積公式為

(4)

2 機器人靈巧手的運動學逆解算法

2.1 運動學逆解的3個Paden-Kahan子問題

Paden-Kahan子問題的主要思想是：將復雜的機器人運動學逆解分解為若干個具有明確幾何意義的逆解子問題，然后逐一解決，即將復雜的運動分解為幾個連續的簡單運動(都可采用運動旋量的指數積來表示)。 Paden-Kahan子問題主要有3種。

θ=arctan(ω·(u′×w′),u′·w′)

圖2 Paden-Kahan子問題1Fig.2 Paden-Kahan sub problem 1

圖3 Paden-Kahan子問題2Fig.3 Paden-Kahan sub problem 2

圖4 Paden-Kahan子問題3Fig.4 Paden-Kahan sub problem 3

2.2 Shadow 三指機器人靈巧手手指逆運動學解的實現

2.2.1 Shadow三指機器人靈巧手結構

如圖5所示，Shadow三指機器人靈巧手包括拇指、食指、無名指、簡易手掌。拇指共5個自由度，分別為下指節的側擺和屈曲、中指節的側擺和屈曲，以及上指節的屈曲運動，其中，側擺軸與屈曲軸垂直，且與手掌相連。食指和無名指結構相同(故下面逆運動學只分析食指)，分別為下指節的側擺和屈曲，以及中指節和上指節的屈曲運動，其中，中指節和上指節相互耦合，耦合系數為1。

圖5 Shadow靈巧手結構簡圖Fig.5 Schematic diagram of Shadow dexterous hand

2.2.2食指逆運動學逆解算法的實現

圖6 食指的運動模型Fig.6 Motion model of the index finger

gst(θ)=

(5)

ci=cosθisi=sinθii=1,2,3,4

c23=cos(θ2+θ3)s23=sin(θ2+θ3)

c234=cos(θ2+θ3+θ4)s234=sin(θ2+θ3+θ4)

根據運動學正解結果，對食指逆解求解步驟如下：

(1)求θ1。令式(5)的第一行、第四列元素c1(a1+a2c2+a3c23+a4c234)=px，第二行、第四列元素s1(a1+a2c2+a3c23+a4c234)=py，則可得

θ1=arctan(py,px)

(6)

即

(7)

式(7)中僅有未知數θ3，利用子問題3可解出θ3。

(3)求θ4。θ4和θ3相互耦合，耦合系數為1，則

θ4=θ3

(8)

(9)

利用子問題1對式(9)進行求解，即得θ2。

2.2.3拇指逆運動學解算法實現

由拇指的運動模型簡圖(圖7)可知，拇指的特點是關節1與關節2的軸線相交，a1=0，關節3與關節4軸線相交，關節1、關節4與關節5軸線平行，垂直紙面向外。這種結構是無法利用已有的3個子問題直接求解而獲得逆解的。為了提高求解效率，應盡量計算各關節的解析解；如果不能夠獲得解析解，以盡少采用數值解為宜。根據拇指的特點，設計的求解過程如下。

圖7 拇指的運動模型Fig.7 Motion model of the thumb

(10)

對式(10)兩邊右乘pw，則

(11)

(12)

式(12)中只有一個未知數θ5，利用數值解解得即可。

(3)求θ3和θ4。因θ1、θ2和θ5已知，將式(10)左邊的θ1、θ2移至等式右邊，則式(10)變為

(13)

3 逆解實例計算驗證

參照人手各個關節的轉動范圍，表1給出了Shadow靈巧手手指結構參數和關節范圍。

表1 Shadow靈巧手手指結構參數和關節范圍

根據食指和拇指的逆運動學算法，其驗證方法和步驟如下：

(1)給定手指各關節確定的角度。

(2)根據靈巧手手指的正運動學方程計算出手指指尖在此角度下的位姿。

(3)應用本文提出的食指和拇指的逆運動學算法逐步求解各關節的角度。在多解的情況下，將所解關節角范圍外的角度剔除。

(4)比較步驟(1)中給定角度和步驟(3)中求解的角度，若二者誤差在允許范圍內，則驗證本文算法正確；否則不正確。

根據此步驟，在關節取值范圍內任意選取一組數據，則食指和拇指的求解結果如表2所示。 通過比較理論設定值和實際運行結果各對應元素的數值，關節角運行誤差最大為食指的第三和第四關節，皆為0.0444°，最小運行誤差為食指的第一關節，數值為0°，可以看出，本文提出的手指逆解的算法具有較高的精度，同時在該算法中，食指(無名指)的逆解算法都為解析解，而拇指僅第五關節需要數值解，其余都為解析解，改進了傳統的D -H逆解算法中食指(無名指)和拇指都需要數值解，計算量大、效率低的問題。對算法運行時間進行統計，本文仿真軟件采用MATLAB2011，計算機CPU為i5-4590@3.3GHz，內存為8G的64位Win7操作系統。表3是利用旋量理論與D -H方法所得逆解的各運行時間。可以看出，利用旋量理論效率較D -H方法高。說明利用旋量理論進行求逆的算法耗費時間少，計算效率高，證明該算法是正確有效的。

表2 逆解求解結果

表3 旋量理論與D -H方法所得逆解

4 結語

應用旋量理論建立了Shadow 三指(拇指、食指、無名指)靈巧手各指的運動學模型，針對各手指不同的結構，提出采用Paden-Kahan子問題與代數解結合求解食指(無名指)的逆解，采用數值法與Paden-Kahan子問題相結合求解拇指逆解，這兩種求解算法，整體計算量小，提高了計算效率；拇指和食指求逆的過程利用了Paden-Kahan幾何算法，并利用了軸的交點、軸外點等幾何量進行計算，幾何特征明顯；通過實例計算，驗證了該逆解算法的可行性與有效性。

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InverseKinematicsAnalysesof3-fingerRobotDexterousHandBasedonScrewTheory

PEI Jiufang XU Dezhang WANG Hai

School of Mechanical and Automotive Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui,241000

A novel inverse kinematics algorithm was proposed based on screw theory in order to improve operation efficiency of inverse kinematics for 3-finger robot dexterous hand. Taking Shadow 3-finger robot dexterous hand as an example, because inverse kinematics might not be solved directly by Paden-Kahan sub problem, an inverse solution of index finger(ring finger) was combined with algebraic solution and Paden-Kahan sub problem. The inverse solution of thumb was combined with numerical method and Paden-Kahan sub problem. Finally, validity and feasibility of the algorithms were proved by an example. Under the premise of ensuring accuracy, the algorithms have obvious geometric meaning, less computation, and high efficiency.

screw theory; dexterous hand; inverse kinematics; Paden-Kahan sub problem

TP242

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.013

2016-11-22

國家自然科學基金資助項目(51175001)；安徽工程大學優秀青年人才基金資助重點項目(2013RZR001zd)

(編輯張洋)

裴九芳，女，1980年生。安徽工程大學機械與汽車工程學院副教授。主要研究方向為機器人靈巧手的抓取規劃、機器人控制等。發表論文15篇。E-mail :jfpei@ahpu.edu.cn。許德章，男， 1964年生。安徽工程大學機械與汽車工程學院教授。王海，男，1976年生。安徽工程大學機械與汽車工程學院教授。