基于弧長參數(shù)的Akima刀位軌跡擬合算法研究

周 鵬 吳繼春 周會(huì)成 楊世平 劉金剛 馬秋成

1.湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心，湘潭，4111052.華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,武漢，430074

基于弧長參數(shù)的Akima刀位軌跡擬合算法研究

周 鵬1吳繼春1周會(huì)成2楊世平1劉金剛1馬秋成1

1.湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心，湘潭，4111052.華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,武漢，430074

在數(shù)控加工中，通常用小線段表達(dá)刀位軌跡，往往會(huì)導(dǎo)致刀位點(diǎn)龐大且軌跡不平滑。基于Akima曲線具有光順連接且端點(diǎn)連接處保證G1以上連續(xù)等特點(diǎn)，將刀位點(diǎn)擬合成Akima樣條曲線，提出了基于弧長參數(shù)的保凸Akima擬合刀位軌跡算法。該算法分為刀位點(diǎn)搜索和擬合兩個(gè)階段：首先利用擬合刀位軌跡的誤差測試(雙弦誤差測試和弦切誤差測試)約束，獲得該段的首末刀位點(diǎn)；然后在該段內(nèi)根據(jù)首末刀位點(diǎn)計(jì)算切線矢量，用弧長信息對(duì)刀位點(diǎn)參數(shù)化，生成一段Akima樣條。利用UG軟件生成了內(nèi)含75個(gè)刀位點(diǎn)的鞋底模型，通過MATLAB編程和仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)置不同測試閾值，對(duì)比了弧長參數(shù)化Akima曲線與節(jié)點(diǎn)參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線之間的擬合效果，驗(yàn)證了算法的有效性。

小線段；Akima算法；弧長參數(shù)；雙弦誤差測試法；弦切誤差測試法

0 引言

隨著數(shù)控技術(shù)的日臻完善以及人們對(duì)加工產(chǎn)品要求的日趨多樣化，以簡單的直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)見長的傳統(tǒng)數(shù)控插補(bǔ)技術(shù),用于自由曲線或曲面加工已經(jīng)不能達(dá)到理想的效果。自由曲線、曲面是一種復(fù)雜的幾何形狀，如飛機(jī)機(jī)翼、發(fā)動(dòng)機(jī)的葉片、凸輪曲面輪廓以及復(fù)雜模具的型腔等，其解析表達(dá)式一般難以求得，且對(duì)于復(fù)雜輪廓，根據(jù)加工精度和加工余量等約束條件生成的刀位文件過大，能達(dá)到十幾兆甚至幾百兆。NURBS方法具有將刀位點(diǎn)擬合成高階連續(xù)的效果且使刀位文件減小[1-5]，但是段與段之間只是C0連續(xù)，且實(shí)時(shí)計(jì)算量大。針對(duì)實(shí)際刀位點(diǎn)分布不均的特點(diǎn)，用NURBS曲線擬合可能出現(xiàn)曲線扭曲等現(xiàn)象，因此既要保證段內(nèi)與段間有較好的連續(xù)性，也要降低擬合曲線的失真度，采用Akima算法擬合刀位點(diǎn)不失為一種好的選擇。來燕菁等[6]比較了Akima插值曲線的累加弦長參數(shù)化法與修正弦長參數(shù)化法，并通過仿真得出后者生成的曲線更接近理想曲線的結(jié)論。ALEXANDRU[7]針對(duì)Akima曲線的端點(diǎn)提出了誤差估計(jì)優(yōu)化算法。袁維濤等[8]利用Akima插值算法在數(shù)控系統(tǒng)中以高級(jí)宏程序?qū)崿F(xiàn)了凸輪的數(shù)控編程加工。由于Akima插值算法自身具有G1連續(xù)和較小的節(jié)點(diǎn)影響因子的優(yōu)勢，尤其是其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)改變影響其周圍6個(gè)節(jié)點(diǎn)的特征[9]，這對(duì)于約束數(shù)據(jù)量大的刀位點(diǎn)是十分有利的。TAO等[10]將雙Akima樣條曲線插值用于連接數(shù)控加工中的刀位點(diǎn)，比傳統(tǒng)三維弦長法更為有效地減少數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而獲得更加光滑的加工/擬合表面。劉俊等[11]提出了對(duì)CAD模型的B樣條曲線曲面密集控制點(diǎn)進(jìn)行壓縮編碼的二階預(yù)測編碼算法。本文提出基于弧長參數(shù)的約束刀位點(diǎn)Akima擬合算法，在測試約束(雙弦測試法和弦高測試法)的條件下，搜索不滿足測試閾值的相鄰刀位點(diǎn)并進(jìn)行分段擬合，在不同閾值下對(duì)Akima曲線的相關(guān)誤差進(jìn)行分析，并在MATLAB實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證算法的有效性。

1 Akima算法的基本原理

Akima算法是Hiroshi Akima于1970年提出的一種曲線擬合算法，它是一種在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)間建立一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的三次多項(xiàng)式算法[12]。在每兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)間建立一條三次擬合曲線，整條曲線保證一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，該算法也被稱為五點(diǎn)擬合算法。

已知n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)pi(xi,yi)(i=0,1,…,n-1),在兩相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)pi(xi,yi)和pi+1(xi+1,yi+1)間確定一個(gè)三次多項(xiàng)式：

r(u)=Ai+Bi(u-ui)+Ci(u-ui)2+
Di(u-ui)3

(1)

u∈[ui-1,ui]

(2)

k=1,2,…,n-1

式中，uk為刀位點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)參數(shù);Ai、Bi、Ci、Di均為系數(shù)向量。

式(1)稱為“節(jié)點(diǎn)參數(shù)化”的Akima曲線多項(xiàng)式，該Akima曲線稱作“節(jié)點(diǎn)參數(shù)化Akima曲線”。

為了得到式(1)的三次多項(xiàng)式，需要確定其中的系數(shù)向量Ai、Bi、Ci和Di，計(jì)算表達(dá)式為

(3)

k=1,2,…，n-1i=1,2,…,n-1

式中，mk為pi(xi,yi)和pi+1(xi+1,yi+1)兩數(shù)據(jù)點(diǎn)間線段的斜率向量；s(ui)為pi(xi,yi)和pi+1(xi+1,yi+1)兩數(shù)據(jù)點(diǎn)間線段的切線向量。

2 基于弧長參數(shù)的約束刀位點(diǎn)Akima擬合算法

2.1 基于測試約束的刀位點(diǎn)分段

在數(shù)控加工中，不同的曲線或曲面輪廓對(duì)應(yīng)不同的刀位點(diǎn)分布，根據(jù)加工件輪廓的復(fù)雜程度，生成的刀位點(diǎn)大多數(shù)是疏密不一的，平坦的局部輪廓曲線的刀位點(diǎn)比較分散，有曲率的輪廓處的刀位點(diǎn)則相對(duì)密集，而且曲率越大，刀位點(diǎn)密集度越大。

針對(duì)刀位點(diǎn)的疏密程度，考慮利用Akima曲線誤差測試約束對(duì)刀位點(diǎn)進(jìn)行分段的預(yù)處理。Akima曲線誤差測試包括雙弦誤差測試和弦切誤差測試。如圖1所示，給定任意依次連接的3個(gè)刀位點(diǎn)Pi-1、Pi和Pi+1，ai-1和ai是相鄰刀位點(diǎn)之間的連線長度，R是通過Pi-1、Pi和Pi+1的圓半徑，δ1和δ2是雙弦誤差。如果弦誤差δ1和δ2同時(shí)都小于設(shè)定的最大輪廓誤差δmax,那么相鄰兩條小線段Pi-1Pi和PiPi+1就可以看成一條符合Akima曲線擬合條件的連續(xù)小線段。

圖1 雙弦誤差Fig.1 The bi-chord error

在滿足上述雙弦誤差條件的前提下，對(duì)于任意兩個(gè)刀位點(diǎn)Pi和Pi+1，必須符合弦切誤差標(biāo)準(zhǔn)，如圖2所示，點(diǎn)M是分別過點(diǎn)Pi和Pi+1的兩條切線的交點(diǎn)，d是交點(diǎn)M到直線PiPi+1的距離，PiM和Pi+1M分別是點(diǎn)Pi和Pi+1處的弦切值。

圖2 弦切誤差Fig.2 The tangent-chord error

圖3 刀位點(diǎn)約束分段擬合示意圖Fig.3 The segmented fitting with CL points

2.2 刀位點(diǎn)的弧長參數(shù)化

針對(duì)刀位點(diǎn)的Akima分段擬合，在進(jìn)行刀位點(diǎn)搜索時(shí)，隨著搜索持續(xù)和中止的交替進(jìn)行，擬合分段數(shù)不斷發(fā)生變化，而節(jié)點(diǎn)參數(shù)ui與刀位點(diǎn)分段有關(guān)，根據(jù)刀位點(diǎn)的累計(jì)弦長計(jì)算每個(gè)刀位點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，因此可將刀位點(diǎn)弧長參數(shù)化，實(shí)現(xiàn)Akima刀位軌跡擬合方法。

計(jì)算斜率向量(mix,miy]，其表達(dá)式為

(4)

i=1,2,…,n-1

其中，li表示相鄰刀位點(diǎn)的弧長，考慮刀位點(diǎn)距離不均和計(jì)算方便，用雙弦誤差測試方法中的圓弧[9]近似代替弧長：

(5)

式中，R為弧長li所在的半徑；β為li對(duì)應(yīng)圓心角。

R與β的計(jì)算如下：

(6)

式中，θi為相鄰弦長之間的夾角。

于是,弧長參數(shù)化Akima曲線為

ri(l)=Ai+Bi(l-li)+Ci(l-li)2+
Di(l-li)3

(7)

l∈[0,li]

i=1,2,…，n-1

由于計(jì)算需要，在首末刀位點(diǎn)處補(bǔ)充4個(gè)輔助斜率向量，計(jì)算如下：

(8)

s(li)=

(9)

i=1,2,…,n-1

依次由式(6)、式(7)、式(4)、式(8)和式(9)聯(lián)立得出式(5)的系數(shù)向量Ai、Bi、Ci和Di，計(jì)算表達(dá)式為

(10)

i=1,2,…,n-1

在擬合中，前一段的末點(diǎn)已計(jì)算的切線向量保留為下一段起點(diǎn)切線向量，以保證擬合曲線的G1連續(xù)性，下一段末點(diǎn)切線向量，根據(jù)弧長參數(shù)化，依此遞推方式計(jì)算。

如圖4所示，點(diǎn)Pi,Pi+1,…,Pi+5分別是2.1節(jié)中搜索中止的部分刀位點(diǎn)，ai,ai+1,…，ai+4分別是搜索中止的相鄰刀位點(diǎn)之間的距離，li,li+1,…,li+4分別是3個(gè)相鄰刀位點(diǎn)之間的圓弧長度，近似為相鄰刀位點(diǎn)的曲線弧長。按圖中箭頭的方向，保留Pi點(diǎn)的切線向量s(li)，在未知全部刀位點(diǎn)的前提下，搜索下一個(gè)刀位點(diǎn)Pi+1，通過弧長參數(shù)化，計(jì)算Pi+1點(diǎn)的切線向量s(li+1)，然后計(jì)算Pi與Pi+1段的Akima曲線r(l)(0≤l≤li)。同樣保留該點(diǎn)的切線向量s(li+1)，繼續(xù)向下搜索如圖中的Pi+2、Pi+3、Pi+4、Pi+5時(shí)，在相鄰刀位點(diǎn)之間依次利用弧長參數(shù)進(jìn)行Akima曲線的遞推式擬合，直至結(jié)束。

圖4 刀位點(diǎn)弧長參數(shù)化遞推示意圖Fig.4 The recursive schematic of arc length parameterization

2.3 刀位點(diǎn)的約束算法流程

利用UG10.0軟件, 以鼠標(biāo)模型為加工實(shí)例，在選擇好刀具、加工余量、加工方法等參數(shù)后，生成的刀位點(diǎn)云圖見圖5，圖6是它的局部放大圖。

圖5 鼠標(biāo)刀位點(diǎn)云圖Fig.5 The Cl points with mouse map

圖6 鼠標(biāo)局部刀位點(diǎn)放大圖Fig.6 Local CL points enlargement with mouse

采用基于弧長參數(shù)的Akima刀位軌跡擬合方法進(jìn)行擬合，如圖7所示。首先依據(jù)測試約束依次搜索要擬合段的終點(diǎn)刀位點(diǎn) ，然后計(jì)算刀位點(diǎn)切線向量等幾何信息，擬合Akima曲線。將搜索到的刀位點(diǎn)作為下一段Akima曲線的起點(diǎn)，繼續(xù)搜索不滿足閾值的刀位點(diǎn)，并作為下一段終點(diǎn)，且擬合該段Akima曲線。

圖7 弧長參數(shù)化的Akima擬合流程圖Fig.7 Akima fitting flow chart with arc length parameterization

3 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文提出的弧長參數(shù)化Akima曲線擬合方法，利用UG建立鞋底模型，生成75個(gè)刀位點(diǎn)NC文件。具體驗(yàn)證步驟是通過文獻(xiàn)[9]中的節(jié)點(diǎn)參數(shù)化Akima曲線與本文方法進(jìn)行同種曲線的“內(nèi)部對(duì)比”，再與NURBS曲線進(jìn)行曲線之間的“外部比較”，具體對(duì)比情況如圖8與表1所示。

(a)Akima曲線與NURBS曲線對(duì)比圖

(b)1處的局部放大圖

(c)2處局部放大圖圖8 三種曲線擬合方法對(duì)比Fig.8 Comparison of three curve fitting methods

誤差測試約束參數(shù)dset=0.002δset=0.02δset=0.01δset=0.06dset=0.001dset=0.0025刀位點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線數(shù)目75757575弧長11.060211.060211.060211.060211.118411.118411.118411.1184測試后刀位點(diǎn)及弧長參數(shù)化Akima曲線數(shù)目45355434弧長11.060211.060211.060211.060211.105611.099611.106211.1045

圖8a是三種曲線擬合方法對(duì)比圖，實(shí)線表示節(jié)點(diǎn)參數(shù)化曲線，虛線表示弧長參數(shù)化Akima曲線，點(diǎn)畫線表示NURBS曲線。通過誤差測試約束的弧長參數(shù)化Akima曲線與節(jié)點(diǎn)參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線從整體上看吻合程度較好，如圖8b所示。圖8c中兩種Akima擬合方法逼近效果較好，而與NURBS 擬合曲線吻合效果不好，究其原因,NURBS沒有通過刀位點(diǎn),與Akima曲線有較大偏差，無論NURBS是逼近還是插值，所擬合曲線均是全局?jǐn)M合且由控制點(diǎn)個(gè)數(shù)決定，同時(shí)與刀位點(diǎn)均勻分布緊密相關(guān)，當(dāng)?shù)段稽c(diǎn)分布不均勻時(shí)，可能導(dǎo)致NURBS 曲線有扭曲現(xiàn)象。而弧長參數(shù)化Akima曲線是遞推進(jìn)行、局部擬合的，且具有弧長信息，為后續(xù)插補(bǔ)提供方便。

綜上所述，在Akima曲線的“內(nèi)部對(duì)比”方面，經(jīng)誤差測試約束的刀位點(diǎn)數(shù)與原始刀位點(diǎn)相比，數(shù)量有了很大減少，表明后續(xù)的擬合Akima曲線段數(shù)會(huì)有明顯減少。設(shè)置不同參數(shù)，擬合Akima曲線的弧長與原始刀位點(diǎn)的弧長接近，表明曲線能夠重構(gòu)出原始的幾何形狀，且能保證曲線的凸凹性。設(shè)置不同誤差測試約束參數(shù)，得到不同的測試后保留的刀位點(diǎn)；在曲線之間的“外部對(duì)比”方面，盡管NURBS曲線與Akima曲線的整體擬合效果比較接近，但在局部效果上，由于NURBS的曲線全局?jǐn)M合性質(zhì)，呈現(xiàn)出與Akima曲線有所偏差的擬合狀態(tài)，且從擬合曲線弧長看，以節(jié)點(diǎn)參數(shù)化Akima曲線弧長為參考，NURBS曲線弧長比弧長參數(shù)化Akima曲線弧長略大(表1)。因此，基于鞋底模型的Akima與NURBS插值擬合刀位點(diǎn)約束算法的擬合效果相對(duì)較好的條件是：δset=0.02、dset=0.0025，約束后刀位點(diǎn)34個(gè)。

4 結(jié)論

為了將刀位點(diǎn)擬合成Akima樣條曲線，本文提出了基于弧長參數(shù)的Akima刀位軌跡擬合算法。首先利用誤差測試約束方法來選取擬合曲線的起止刀位點(diǎn)，然后對(duì)選取的刀位點(diǎn)進(jìn)行弧長參數(shù)化，實(shí)現(xiàn)遞推式擬合過程，即實(shí)現(xiàn) “加入刀位點(diǎn)—對(duì)其進(jìn)行弧長參數(shù)化—擬合Akima曲線”這種遞推式擬合模式，且上一段終點(diǎn)刀位點(diǎn)切線向量等幾何信息也是下一段起點(diǎn)的幾何信息，不需要重復(fù)計(jì)算從而提高計(jì)算效率。利用UG生成的鞋底模型，通過誤差測試約束刀位點(diǎn)，對(duì)比了弧長參數(shù)化Akima曲線與節(jié)點(diǎn)參數(shù)化Akima曲線、NURBS曲線之間的擬合，驗(yàn)證了提出方法的有效性。

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StudyonAkimaCurve-fittingAlgorithmwithTool-pathBasedonArc-lengthParameters

ZHOU Peng1WU Jichun1ZHOU Huicheng2YANG Shiping1LIU Jingang1MA Qiucheng1

1.The Engineering Center of Ministry of Education of Complex Trajectory Processing Technology and Equipment,Xiangtan University,Xiangtan,Hunan,411105 2.National NC System Engineering Research Center,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan,430074

In NC machining, tool-path was usually expressed by micro-line shocks, which might result in the magnitude of the cutter location(CL)points whose trajectory was unsmooth. The CL points were fitted into Akima spline curve with its advantages of smooth junction and the node points for over G1-continuity,thus the Akima curve-fitting algorithm preserving convexity for tool-path was proposed based on arc-length parameters. The algorithm was divided into two stages including CL points’ searching and curve fitting. Firstly the features of CL points, the error testing constraints including bi-chord error tests and tangent error tests for fitting the tool trajectory were used to judge the adjacent CL points by the threshold of the testing constraints, if they were satisfied with the threshold continue to search the next tool location point(TLP), otherwise, CL points’ searching might be suspended and the first and end points of the segment were attained, then the tangent vectors were calculated according to the first and end points in this segment to ensure the concavity and convexity of the fitted curves, and the arc-length was used to parameterize the CL points ,so that a section of Akima spline between the adjoining CL points which had paused to searching were generated. When this segment of Akima curve fitting was accomplished, then the end point of the section was regarded as the first point of the next section, as the circle to the end. The model of the shoe sole(consists of 75 CL points) were generated by ultilizing UG software. The different testing thresholds were set up to compare the Akima curves whose arc-length was parameterized with the Akima curves whose knots were parameterized and NURBS curves based on MATLAB programming and simulation experiments were used to validate effectiveness of the algorithm.

micro-line shock; Akima algorithm; arc-length parameter; bi-chord error test; tangent error test

2016-08-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375419，51575466，51575210)；湖南省自然科學(xué)聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(2017JJ4053)；湖南省教育廳創(chuàng)新平臺(tái)資助項(xiàng)目(17K091)

TH-39

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.005

(編輯華中平)

周鵬，男，1991年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心碩士研究生。主要研究方向?yàn)闃訔l擬合、三維造型。吳繼春(通信作者),男,1979年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心博士、副教授。E-mail:xlzy888@163.com。周會(huì)成,男,1974年生。華中科技大學(xué)國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心副教授。楊世平,男,1970年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心副教授。劉金剛，男，1979年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心副教授。馬秋成，男，1964年生。湘潭大學(xué)復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心教授。