基于主成分分析方法的并聯機構參數優化

曾達幸 王娟娟 樊明洲 岳曉博 侯雨雷

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

基于主成分分析方法的并聯機構參數優化

曾達幸 王娟娟 樊明洲 岳曉博 侯雨雷

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

以DELTA并聯機構為研究對象，求解該機構的全域條件數、全域各向同性系數、全域最小奇異值指標數據，建立多維全域性能指標數據。基于主成分分析(PCA)法，對上述多維全域性能指標數據進行降維、有效融合，去除指標間的冗余信息，減小目標函數對權重系數的人為依賴性，從而確定目標函數。通過對不同結構參數樣本進行PCA分析，選出基于綜合全域性能最優的結構尺寸。將PCA優化結果與各性能指標值分布圖進行比較分析，最優和最差樣本均與各性能指標分布圖的最優和最差性能區域相對應，從而驗證PCA方法在并聯機構參數優化時的有效性。研究結果為多目標下并聯機構的優化提供了一種新思路。

參數優化；并聯機構；主成分分析；全域性能指標

0 引言

隨著并聯機構應用領域的不斷深入與拓展，對其性能指標的要求也愈加全面。根據實際工況任務的需求，對機構進行優化成為影響設計優劣的關鍵。目前并聯機構多基于單一指標進行參數優化，如黃田等[1]基于全域靈活度實現對球面并聯機器人的尺度綜合；劉辛軍等[2]基于傳動角，定義了一種關于力/運動性能傳遞的度量指標，并對PVRRRPV(P和R分別表示移動副和轉動副，下標V表示移動副P的運動方向是豎直方向)并聯機器人進行機構參數的優化設計。而在機構實際應用中往往需要考慮多指標之間的相互影響，希望基于多指標選出滿意的機構結構尺寸，因此機構的參數優化應該是多目標優化問題。多目標優化問題的傳統分析方法(如主要目標法、權重系數法等)是將多目標問題變為單目標優化問題，從而使多目標優化成為可能，但此類方法并不是真正意義上的多目標優化[3]。智能仿生算法(如遺傳算法、粒子群優化算法、神經網絡算法等)是基于群體進行優化，已被應用于多目標優化中[4-6]。機構的參數優化還有一種方法是性能圖譜，該方法是在有限的空間內用圖形表示性能指標與設計參數之間的關系，但得到的最佳結果往往是模糊的。

主成分分析(principal component analysis，PCA) 法[7]是統計學中一種多元統計方法，該方法充分考慮各指標間的信息重疊，在進行數據簡化的同時能夠最大程度地保留原有信息，更客觀地確定各個指標的權重，避免了主觀隨意性。目前，PCA法已應用到水質監測[8]、環境質量評價[9]、人臉識別[10-11]、機械故障特征融合[12-13]和診斷[14]以及工業數據中的去噪[15]等領域。文獻[16]將PCA法應用于同一構型不同尺度平面2R機械臂和三種不同構型空間3R機械臂運動靈活性綜合評價。文獻[17]應用PCA法和核主成分分析(kernel principal component analysis,KPCA)法對不同尺度的PUMA560串聯機器人的全域性能進行綜合評價。文獻[18]基于不同工作任務，使用PCA法和KPCA法對平面2-RR并聯機構的綜合性能進行評價和比較分析。目前PCA法在并聯機構參數優化方面的應用相對較少。

本文應用PCA法對并聯機構參數進行優化，以典型的DELTA并聯機構為研究對象，給定不同的結構參數樣本，基于運動學全域性能指標，運用PCA法通過綜合性能評分得出性能最優的結構參數樣本，開展機構參數優化。而后繪制各性能指標值分布圖，與PCA法優化結果進行對比分析，最優和最差樣本均在各性能指標值分布圖的最優和最差區域內，從而驗證PCA法的有效性。

1 DELTA并聯機構全域性能指標確立

DELTA并聯機構是目前應用最成功的三自由度并聯機構之一，如圖1所示，該機構是由定平臺、動平臺和三條均布并包含有平行四邊形結構的支鏈組成。

圖1 DELTA并聯機構簡圖Fig.1 Simplified structure of DELTA parallel mechanism

DELTA機構的基本尺寸如下：定平臺外接圓半徑為ra，圓心為O，動平臺外接圓半徑為rb，圓心為O′，AiBi(i=1,2,3)長度為l1，BiCi長度為l2。OAi與定坐標系OXYZ的X軸正向之間的夾角αi分別為0°、120°、240°，AiBi與定坐標系的OXZ平面之間的夾角為βi，平行四邊形機構與定坐標系的OXZ平面之間的水平面轉角為γi，平行四邊形機構與定坐標系OXYZ的Y軸負向之間的夾角為θi，定平臺與動平臺相互平行。

Bi、Ci點在定坐標系中的坐標為

由BiCi=l2，可得表達式如下:

(1)

xi=rcosαi+l1cosαicosβiyi=-l1sinβi
zi=-rsinαi-l1sinαicosβi
r=ra-rbi=1,2,3

由式(1)可得

(2)

i=1,2,3

對式(2)進行一階泰勒展開，并對時間求導得

(3)

式(3)轉換為矩陣形式，有

令

則可簡化為

則該機構的雅可比矩陣為

(4)

根據式(4)可求出DELTA機構的雅可比矩陣。并聯機構的靈活性指標解析式多數與雅可比矩陣有關。確立全域條件數x1、全域各向同性系數x2、全域最小奇異值x3為優化指標，對DELTA機構進行優化，這三項性能指標解析式都是基于雅可比矩陣求得，但是所具有的物理意義不同，在不同方面反映了并聯機構的靈活度。各全域性能指標具體信息如表1所示。

表1 全域性能指標具體信息

表1中，w為機構工作空間；min(SVD(J))為雅可比矩陣J的最小奇異數；KJ為條件數，Δ為各向同性系數，其表達式分別為

KJ=‖J‖·‖J-1‖

式中，m為機構操作空間維數；λi(i=1,2,…,m)為雅可比矩陣J的特征值。

2 DELTA并聯機構主成分分析過程

2.1 DELTA并聯機構結構參數量綱一化

為把DELTA并聯機構多維無限尺寸空間變換到有限的三維空間中來，從而可以系統地研究機構尺寸與性能的關系，將DELTA機構結構尺寸進行量綱一化，即

(5)

量綱一化后的DELTA機構結構尺寸為

(6)

由式(5)、式(6)可得

r1+r2+r3=3

為使DELTA機構滿足組裝和運動要求，需滿足條件

00

2.2 性能指標數據處理

根據表1中的解析式求得各指標原始數據，構成原始樣本矩陣X如下：

X由m個不同尺寸的DELTA并聯機構樣本的n個全域性能指標構成。

根據表1中相應的解析式，利用MATLAB編程，求取每個樣本的全域條件數x1、全域各向同性系數x2和全域最小奇異值x3，構成樣本的指標原始數據。選取100個參數樣本，其具體數值如表2所示。

表2 DELTA機構性能指標原始數據

各性能指標原始數據隨尺寸改變會產生不同的優劣趨勢變化。指標x3是正向指標，其值越大，機構所對應性能就越好。指標x1、x2為適度指標，其值越接近1，機構所對應性能越好。為了便于分析，在數據分析之前，先將數據正向化處理，使各指標變為正向指標。正向化公式為

x′=1/|x-t|

(7)

式中，t為指標最佳值。

利用式(7)對x1、x2作正向化處理，正向化后的性能指標數據如表3所示。

表3 DELTA機構正向化后性能指標數據

各指標的量綱和數量級不同，指標數據之間不具有可比性，需先將數據標準化處理，使各指標數值都處于同一個級別上，從而便于進行綜合測評分析。

采用Z-Score變換對正向化后的性能指標數據進行標準化處理，得到樣本標準化后的數據矩陣Z，其具體數值如表4所示。

標準化公式為

其中

表4 DELTA機構標準化后性能指標數據

2.3 求取相關系數矩陣

靈活性指標之間存在一定的相關性，使數據存在一定的信息重疊，應用相關系數可以充分反映靈活性指標間的相關性，這是降維的首要條件[15]。

矩陣Z的相關系數矩陣為

(8)

根據式(8)，其具體數值如表5所示。由表5可知，x1與x2的相關系數為0.9631，相關系數較大，相關性較強。x1與x3相關系數為0.2798，x2與x3相關系數為0.1971，相關系數較小，相關性較弱。由此可知，三個指標相互之間的相關程度不同。相關系數矩陣反映了各性能指標間的內部聯系。主成分則是基于指標之間這些內部聯系而確定的。

表5 相關系數矩陣

2.4 主成分的確定

求取矩陣R的特征值以及單位特征向量。每一個單位特征向量所對應的特征值代表了相關系數矩陣在這一單位特征向量上的貢獻率(即能量)。由主成分的數學模型和統計特征知，主成分Fi的方差為R的第i大特征根λi，故各主成分方差貢獻率表示包含原始信息能量的多少，其方差貢獻率為

選取主成分的原則是不丟失主要信息，而衡量信息的指標是主成分的方差，方差越大，說明包含主成分的信息量越大[19]。將特征值λi(i=1,2,…,n)進行排序：λ1≥λ2≥…≥λn。各特征值對應的單位特征向量為

vi=(vi1,vi2,…,vin)Ti=1,2,…,n

根據特征值的累計方差貢獻率Mi來確定主成分個數k，通常取累計方差貢獻率大于或等于85%[20]。其前p個主成分累計方差貢獻率Mi為

(9)

由式(9)可計算主成分的累計方差貢獻率，PCA分析過程中具體信息如表6所示。由表6可知，第一主成分累計方差貢獻率為68.9%，該值小于85%，不滿足確定主成分條件；第一主成分和第二主成分方差貢獻率達到98.8%，該值大于85%，故確定主成分個數為2。

表6 樣本PCA分析計算結果

2.5 綜合性能評價函數確定

第一主成分能代表指標x1、x2的信息，第二主成分則主要代表指標x3的信息。將特征根對應的單位特征向量作為主成分模型中的權重系數，確定主成分表達式，這樣就排除了人為設定參數計算過程的干預，保證了評價過程中的客觀性。

主成分的數學模型為

Fi=ei1Z1+ei2Z2+…+einZn

(10)

其中ei=(ei1，ei2，…，ein)T為Fi的系數向量。多元統計學已經證明，ei是R特征根λi對應的特征向量vi[19]。現選取兩個主成分，由式(10)得第一主成分表達式為

F1=0.680Z1+0.668Z2+0.301Z3

(11)

第二主成分的表達式為

F2=0.167Z1+0.258Z2-0.951Z3

(12)

根據各指標的權重系數，結合各指標的具體物理意義，若主成分Fi越大，機構的靈活性能越好，則主成分Fi正向；若主成分Fi非正向，則需對主成分Fi進行正向化處理[21]。對式(12)可進行正向化處理，即

(13)

PCA法根據相關系數矩陣反映的信息，求取其特征值和單位特征向量，客觀地賦予各指標權重系數，對并聯機構進行綜合性能評價。構造并聯機構綜合性能評價函數：

(14)

則由式(11)～式(14)得DELTA機構的綜合性能評價函數表達式為

(15)

3 評價結果分析與驗證

選取的性能指標都是反映DELTA機構靈活性的指標，故綜合性能評分越高，代表DELTA機構的靈活性能越好。根據式(15)，繪制得出100個樣本PCA優化結果圖譜，10個樣本為一組，如圖2所示。

圖2 PCA優化結果圖譜Fig.2 Atlas of optimization results by PCA method

由圖2可知，每組樣本的綜合性能評分大致趨勢為先增后減，規律相似。各組樣本的最高評分宏觀上也呈先增后減的趨勢。綜合性能評分最高的是樣本33，該樣本具體信息如表7所示。

得分排名第2的樣本是樣本12，得分排名第99的樣本是樣本28，得分最低的樣本是樣本49。樣本33、12、28、49性能指標對比如表8所示。

表7 樣本33具體信息

表8 4個樣本性能指標值與各性能指標極值對比表

由表8可知，在所有樣本的全域條件數x1中，樣本33的x1是最優值，樣本12的x1接近最優值，樣本28的x1是最差值，樣本49的x1接近最差值。在所有樣本的全域各向同性系數x2中，樣本33的x2是最優值，樣本12的x2接近最優值，樣本28和樣本49的x2較為相近，且接近最差值。在所有樣本的全域最小奇異值x3中，樣本12比樣本33的x3更接近最優值，樣本49比樣本28的x3更接近最差值。由以上分析以及表5可知，各指標不會在同一樣本中同時出現最優值。最優樣本33和最差樣本49的各個性能指標值與所對應的性能指標最優值和最差值也極為接近，表明了PCA方法優化的有效性。

為了更為直觀地驗證PCA法優化的有效性，繪制出該DELTA機構的綜合性能評分三維圖和各性能指標值分布圖，見圖3和圖4，圖中*為最優樣本33，?為最差樣本49。

圖3 綜合性能評分三維圖Fig.3 Map of comprehensive performance score

觀察圖3和圖4可知，圖3綜合性能評分三維圖與圖4a、圖4b單個性能指標值的分布圖相似但不相同，圖3所呈現的效果是圖4a～圖4c三者的結合。由圖4可知，x1與x2的指標值分布圖相似度較高，x1和x3、x2和x3的指標值分布圖相似度較低。在各性能指標值分布圖中，最優樣本33位于性能優秀的樣本區域內，最差樣本49位于性能較差的樣本區域內。由此驗證了PCA法在DELTA并聯機構參數優化應用中的有效性。

(a)全域條件數x1

(b)全域各向同性系數x2

(c)全域最小奇異值x3圖4 DELTA并聯機構各性能指標值分布圖Fig.4 Distribution map of the performance index values of DELTA mechanism

4 結論

(1)將主成分分析法應用于DELTA并聯機構的參數優化，克服了性能圖譜方法優化結果不唯一的弊端；通過求取各指標之間的相關系數以及相關系數的特征值和特征向量，確立主成分，進而確立目標函數，得出綜合性能評分最高的樣本結構尺寸，對并聯機構尺度綜合具有指導意義。

(2)通過對主成分分析法優化結果以及各性能指標值分布圖的對比和分析，驗證了優化結果的有效性。本研究是對并聯機構綜合性能優化方法的擴展，可為不同構型并聯機器人機構多目標優化提供新的思路。

[1] 黃田, 曾憲菁, 倪雁冰,等. 球面并聯操作機的尺度綜合方法[J]. 自然科學進展, 2000, 10(8): 751-756.

HUANG Tian, ZENG Xianjing, NI Yanbing, et al. The Dimensional Synthesis of Spherical Parallel Manipulator[J]. Progress in Natural Science, 2000, 10(8): 751-756.

[2] 劉辛軍, 吳澤啟, 張立杰. 基于力傳遞性能的一種平面并聯機器人的優化設計[J]. 清華大學學報(自然科學版), 2008, 48(11): 1751-1754.

LIU Xinjun, WU Zeqi, ZHANG Lijie. Optimum Design of a Planar Parallel Robot Based on Force Transmissibility[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Techonlogy),2008, 48(11):1751-1754.

[3] 趙亮, 雎剛, 呂劍虹. 一種改進的遺傳多目標優化算法及其應用[J]. 中國電機工程學報, 2008, 28(2): 96-102.

ZHAO Liang, JU Gang, LYU Jianhong. An Improved Genetic Algorithm in Multi-objective Optimization and Its Application[J]. Proceedings of the CSEE, 2008, 28(2): 96-102.

[4] 侯媛彬, 薛斐, 鄭茂全, 等. 基于多層編碼的遺傳-粒子群融合算法流水線優化控制[J]. 機械工程學報, 2015, 51(9): 159-164．

HOU Yuanbin, XUE Fei, ZHENG Maoquan, et al. Optimization of Flow-shop Control by Using Genetic-particle Swarm Algorithm of Multilayer-coded[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(9): 159-164.

[5] SCHMIDHUBER J. Discovering Neural Nets with Low Kolmogorow Complexity and High Generalization Capability[J]. Neural Networks the Official Journal of the International Neural Network Society, 1997, 10(5): 857-873.

[6] 張渝, 胡啟國, 張甫仁. 基于粒子群算法的冷擠壓模具結構參數優化設計[J]. 中國機械工程, 2010, 21(8): 1003-1007.

ZHANG Yu, HU Qiguo, ZHANG Furen. Optimal Design of Structural Parameters of Cold Extrusion Dies Based on Partical Swarm Optimization[J]. China Mechanical Engineering, 2010, 21(8): 1003-1007.

[7] KURODA M,MORI Y, LIZUKA M, et al. Acceleration of the Alternating Least Squares Algorithm for Principal Components Analysis[J]. Computational Statistics and Data Analysis, 2011, 55(1): 143-153.

[8] 黃姍, 丁堅平, 徐洋. 基于主成分分析法對開陽縣巖溶地下水水質的評價[J]. 環保科技, 2014, 20(6): 48-52.

HUANG Shan, DING Jianping, XU Yang. The Evaluation of Karst Groundwater Quality Based on Principal Component Analysis in Kaiyang[J]. Environmental Protection and Technology, 2014, 20(6): 48-52.

[9] 劉臣輝, 呂信紅, 范海燕. 主成分分析法用于環境質量評價的探討[J]. 環境科學與管理, 2011, 36(3): 183-186.

LIU Chenhui, LYU Xinhong, FAN Haiyan. Study of Applying Principal Component Analysis to Environmental Quality Assessment[J]. Environmental Science and Management, 2011, 36(3): 183-186.

[10] 周桐. 基于PCA的人臉識別系統的設計與實現[D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業大學, 2007.

ZHOU Tong. Face Recognition System Design and Implementation Based on Principal Component Analysis[D]. Harbin:Harbin Institute of Technology, 2007.

[11] 王婧瑤, 許勇, 曹本希. 基于主成分分析的超聲人臉識別算法研究[J]. 計算機工程與設計, 2013, 34(8): 2867-2871.

WANG Jingyao, XU Yong, CAO Benxi. Ultrasonic Face Recognition Algorithm Based on Principal Component Analysis[J]. Computer Engineering and Design, 2013, 34(8): 2867-2871.

[12] 古瑩奎, 楊子茜, 朱繁瀧. 基于主成分分析的齒輪故障特征融合分析[J]. 中國機械工程, 2015, 26(11): 1532-1537.

GU Yingkui, YANG Zixi, ZHU Fanlong. Gearbox Fault Feature Fusion Based on Principal Component Analysis[J]. China Mechanical Engineering, 2015, 26(11): 1532-1537.

[13] 古瑩奎, 承姿辛, 朱繁瀧. 基于主成分分析和支持向量機的滾動軸承故障特征融合分析[J]. 中國機械工程, 2015, 26(20): 2778-2783.

GU Yingkui, CHENG Zixin, ZHU Fanlong. Rolling Bearing Fault Fusion Based on PCA and SVM [J]. China Mechanical Engineering, 2015, 26(20): 2778-2783.

[14] NGUYEN V H, GOLINVAL J C. Fault Detection Based on Kernel Principal Component Analysis[J]. Engineering Structures, 2010, 32(11): 3683-3691.

[15] 梁勝杰, 張志華, 崔立林. 主成分分析法和核主成分分析法在機械噪聲數據降維中的應用比較[J]. 中國機械工程, 2011, 22(1): 80-83.

LIANG Shengjie, ZHANG Zhihua, CUI Lilin. Comparison between PCA and KPCA Method in Dimensional Reduction of Mechanical Noise Data[J]. China Mechanical Engineering, 2011, 22(1): 80-83.

[16] 趙京, 李立明, 尚紅,等. 基于主成分分析法的機械臂運動靈活性性能綜合評價[J]. 機械工程學報, 2014, 50(13): 9-15.

ZHAO Jing, LI Liming, SHANG Hong, et al. Comprehensive Evaluation of Robotic Global Kinematic Dexterity Performance Based on Principal Component Analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(13): 9-15.

[17] 趙京, 李立明. 基于主成分分析法和核主成分分析法的機器人全域性能綜合評價[J]. 北京工業大學學報, 2014, 40(12): 1763-1769.

ZHAO Jing, LI Liming. Comprehensive Evaluation of Robotic Global Performance Based on Principal Component Analysis and Kernel Principal Component Analysis[J]. Journal of Beijing University of Technology, 2014, 40(12): 1763-1769.

[18] 孫志娟, 趙京, 趙辛. PCA與KPCA在并聯機構綜合性能評價中的應用比較[J]. 制造業自動化, 2014, 36(2): 66-71.

SUN Zhijuan, ZHAO Jing, ZHAO Xin. Comparision between PCA and KPCA Method in Comprehensive Performance Evaluation of Parallel Mechanism[J]. Manufacturing Automation, 2014, 36(2): 66-71.

[19] 王文博, 陳秀芝. 多指標綜合評價中主成分分析和因子分析方法的比較[J]. 統計與信息論壇, 2006, 21(5): 19-22.

WANG Wenbo, CHEN Xiuzhi. Comparison of Principal Component Analysis with Factor Analysis in Comprehensive Multi-indicators Scoring[J]. Statistics and Information Forum. 2006, 21(5): 19-22.

[20] 秦壽康. 綜合評價原理與應用[M]. 北京:電子工業出版社, 2003:135-142.

QIN Shoukang. The Theory and Application of Comprehensive Assessment[M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2003:135-142.

[21] 林海明, 杜子芳. 主成分分析綜合評價應該注意的問題[J]. 統計研究, 2013, 30(8): 25-31.

LIN Haiming, DU Zifang. Some Problem in Comprehensive Evaluation in the Principal Component Analysis[J]. Statistical Research, 2013, 30(8): 25-31.

ParameterOptimizationofParallelMechanismsBasedonPCA

ZENG Daxing WANG Juanjuan FAN Mingzhou YUE Xiaobo HOU Yulei

School of Mechanical Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei，066004

A DELTA parallel mechanism was treated as the research object, the global conditioning index, the global isotropic and the global minimum singular value of the mechanism were solved to build multi-dimensional global performance indices. Based on PCA, the multi-dimensional global performance indices were dimensionally reduced, effectively integrated. Redundant data dimensions among kinematic indicators and target function dependence of weight coefficient were reduced to obtain more objective target function. The different structure parameter samples were analyzed by PCA thereby optimal structure dimensions were obtained based on the comprehensive global performance. The optimization results of PCA and the distribution of the performance index values were compared and analyzed, the best and the worst samples corresponded to the best and the worst performance areas of distribution map of every global performance index respectively, and then the effectiveness of applying PCA in parameter optimization of parallel mechanisms was verified. These contents of the research provide a new idea for multi-target optimization of the parallel mechanisms.

parameter optimization; parallel mechanism; principal component analysis(PCA); global performance index

2016-08-11

國家自然科學基金資助項目(51205339，51775473)；河北省高等學校科學技術研究青年基金資助項目(QN2014175)；河北省重點研發計劃資助項目(15211826)；燕山大學研究生創新資助項目(2017XJSS009)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.001

(編輯蘇衛國)

曾達幸，男，1978年生。燕山大學機械工程學院教授。主要研究方向為并聯機構型綜合、 并聯機器人和重型工程機械設計。王娟娟，女，1991年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。樊明洲，男，1992年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。岳曉博，女，1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。侯雨雷(通信作者)，男，1980年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。E-mail：ylhou@ysu.edu.cn。