高中數學中概率的基本性質

田海慧 湖南省長沙市第一中學

高中數學中概率的基本性質

田海慧 湖南省長沙市第一中學

日常生活中，經常會遇到一些無法事先預料結果的事情，它們被稱為隨機事件。比如，拋擲一枚硬幣，它將正面朝上還是反面朝上、購買本期福利彩票是否能夠中獎等，這些事情的結果都有不確定性，是無法預知的，但當我們把隨機的事件都放在一起時，它們可能會表現出令人驚訝的規律性。為了研究這種隨機事件的規律性，高中數學中引進了概率，概率是描述隨機事件發生可能性大小的度量，本人將探討概率的基本性質。

概率 不可能事件 隨機事件

1 事件概念

一般地，我們把在條件S下，一定會發生的事件，叫做相對于條件S的必然事件，簡稱必然事件。

在條件S下，一定不會發生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件，簡稱不可能事件。

必然事件與不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定事件。

在條件S下肯定能發生也可能不發生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件，簡稱隨機事件。

2 概率的概念

概率，又稱或然率、機會率、機率(幾率)或可能性，是概率論的基本概念。概率是對隨機事件發生的可能性的度量，一般以一個在0到1之間的實數表示一個事件發生的可能性大小。越接近1，該事件更可能發生；越接近0，則該事件更不可能發生。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。

3 事件的關系與運算

思考：在擲骰子試驗中，我們用集合形式定義如下事件：

C1＝｛出現1點｝，C2＝｛出現2點｝，C3＝｛出現3點｝，C4＝｛出現4點｝，C5＝｛出現5點｝，C6＝｛出現6點｝，D1＝｛出現的點數不大于1｝，D2＝｛出現的點數大于4｝，D3＝｛出現的點數小于6｝，E＝｛出現的點數小于7｝，F＝｛出現的點數大于6｝，G＝｛出現的點數為偶數｝，H＝｛出現的點數為奇數｝，等等。你能寫出這個試驗中出現其它一些事件嗎？類比集合與集合的關系，運算，你能發現它們之間的關系和運算嗎？上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件？

①顯然，如果事件C1發生，則事件H一定發生，這時我們說事件H包含事件C1，記作

一般地，對于事件A和B，如果事件A發生時，事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B）記作B A(或

②如果C1發生，那么事件D1一定發生，反過來也對，這時我們說這兩個事件相等，記作C1=D1。一般地，若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。

③若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作A∪B(或A+B)。

例如，在擲骰子的試驗中，事件C1∪C5表示出現1點或5點這個事件，即C1∪C5={出現1點或5點}。

④若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作A∩B（或AB）。

例如，在擲骰子的試驗中D2∩D3=C4。

⑤若A∩B為不可能事件，即A∩B=φ，那么稱事件A與事件B互斥。其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發生。

例如，上述試驗中的事件C1與事件C2互斥，事件G與事件H互斥。

⑥若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B有且只有一個發生。在上述試驗中，G∩H為不可能事件，G∩H為必然事件，所以G與H互為對立事件。

4 概率的幾個基本性質

①由于事件的頻數總是小于或等于試驗的次數，所以頻率在0～1之間，從而任何事件的概率在0～1之間，即

0≤P(A)≤1

②每次試驗中，必然事件一定發生，因此它的頻率為1，從而必然事件的概率為1，如，在擲骰子試驗中，由于出現的點數最大是6，因此P(E)=1。

③每次試驗中，不可能事件一定不出現，因此他的頻率為0，從而不可能事件的概率為0。如，在擲骰子試驗中，P(F)=0。

④當事件A與B互斥時，A∪B發生的頻數等于A發生的頻數與B發生的頻數之和，從而A∪B的頻率Fn(A∪B)=Fn(A)+Fn(B)。

由此得到概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)。

⑤特別地，若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。

隨機事件在一次試驗中是否發生是不確定的，但在大量重復試驗中，隨機事件的發生是有規律的，概率就是要尋找這種規律性。

[1]龔先貴,高中數學概率教學研究經營管理者.[J].湖南師范大學,2013(09)

[2]司存瑞,利用概率性質解數學分析問題.[J].陜西教育學院學報,1995（02)