高中數學中的數學歸納法

羅思懿 湖南省長沙市南雅中學

高中數學中的數學歸納法

羅思懿 湖南省長沙市南雅中學

數學歸納法是一種在數學中常用的解題方法，它在高中數學中的應用非常廣泛，數學歸納在高中數學的多種學習內容中都有著非常重要的作用，本文探討了數學歸納法在高中數學中的應用及學習的難點，以供參考。

數學歸納法 高中數學 學習應用

1 數學歸納法的概述

1.1 數學歸納法

數學歸納法是數學上證明與自然數n有關命題的一種解題方法，它主要用來證明與自然數有關的數學問題，是一種非常嚴謹的數學命題證明方法。

數學歸納法并不是一種簡單的歸納整理的數學方法，而是一種利用已知條件對命題進行演繹推理的數學方法。數學歸納法中，首先通過對若干的既成事實進行歸納整理后形成一個結論，再依據命題中的已知條件和歸納得出的結論進行演繹推理，從而得出一個符合命題解題思路的結論。

1.2 數學歸納法的步驟和適用范圍

數學歸納法的基本解題步驟：

1．2．1 第一數學歸納法

一般地，證明一個與自然數n有關的命題P（n），有如下步驟：

①證明當n取第一個值n0時，命題成立。n0對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；

②假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立；

綜合①和②，得出：對一切自然數n（≥n0），命題P（n）都成立。

1．2．2 第二數學歸納法

對于某個與自然數有關的命題P（n），有如下步驟：

①驗證n=n0時，P（n）成立；

②假設n0≤nn0）成立，能推出Q（k）成立，假設Q（k）成立，能推出P（k+1）成立；

綜合①和②，得出：對一切自然數n（≥n0），命題P（n），Q（n）都成立。

數學歸納法適用于一切有關正整數開始N的任意正整數n大于等于N都成立的算術型命題。

1.3 數學歸納法的特點

數學歸納法有不同于其他數學方法的特點，數學歸納法是完全歸納法的一種數學歸納法能證明命題在n開始的對于所有自然數都正確，而不完全歸納法則只能證明n取其中某些數字時命題正確，沒有證明對于所有的自然數都正確。

2 數學歸納法在高中數學中的應用

2.1 數學歸納法在不等式證明中的應用

在不等式證明問題中，用數學歸納法來證明可以采用函數與數列結合證明的方法。

例如：證明：如果n（n為正整數）個正數a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n。

則：①當n=1時，有a1=1，命題正確。

②假設當n=k時，命題成立，即若k個正數的乘積a1a2…an=1，則有a1+a2+…+ak≥k；當n=k+1時，已知k+1個正數a1，a2，…，ak，ak+1滿足條件a1a2…ak+1=1。若這k+1個正數a1，a2，…，ak，ak+1都相等，則它們都是1，其和為k+1，命題得證。若這k+1個正數a1，a2，…，ak，ak+1不全相等，則其中必有大于1的數與小于1的數，否則與a1a2…ak+1=1相矛盾。可設a1＞1，a2＜1，將乘積a1a2看成一個數，這樣就可以得到k個正數a1，a2，a3，…，ak，ak+1的乘積是1，借助歸納假設法，可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k。所以a3+a4+…+ak+ak+1≥ka1a2，所以a1+a2+…+ak+ak+1-（k+1）≥a1+a2+k-a1a2-（k+1）=-（a1-1）（a2-1），因為a1＞1，a2＜1，所以-（a1-1）（a2-1）＞0，所以a1+a2+…+ak+ak+1-k-1＞0，即a1+a2+…+ak+ak+1＞k+1，所以當n=k+1時，命題成立。

綜合①和②，可知對于一切正整數n，如果n個正數a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n這一命題成立。

2.2 數學歸納法在恒等式證明中的應用

用數學歸納法證明恒等式的問題也是非常實用的。例如：證明：1-1/2+1/3+1/4+…+（1/2n-1）-（1/2n）=1/n+1+1/n+2+…+1/2n時要注意關鍵步驟不要含糊不清，項數估計不能錯誤和記住利用歸納假設的方法，這樣就可以很簡單的得出命題成立的結論了。

3 數學歸納法在高中數學中學習的難點

數學歸納法的學習難點究其根本還是由于學生沒有對數學歸納法的邏輯推理理解清楚，從而導致在學習數學歸納法時對于理解邏輯推理和數學歸納法的應用方面沒有學習到位，沒有認識到數學歸納法在邏輯推理上的嚴謹性，沒有較好地理解基礎知識就生搬硬套地利用數學歸納法解決各種問題的證明，從而導致證明過程中出現了邏輯的混亂或者思路不清晰等種種的錯誤，這是非常需要注意的。

在數學歸納法的學習上我們還應該更加的努力，爭取把數學歸納法的應用和邏輯的推理都理解透徹，學習清楚。

[1]張先達.數學歸納法在中學數學中的應用[J].經濟研究導刊,2011,(14):304-305

[2]肖海燕,代欽.數學歸納法在幾何教學中的應用[J].內蒙古師范大學學報(教育科學版),2011,(04):130-131