高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)歸納法

羅思懿 湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)歸納法

羅思懿 湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)

數(shù)學(xué)歸納法是一種在數(shù)學(xué)中常用的解題方法，它在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，數(shù)學(xué)歸納在高中數(shù)學(xué)的多種學(xué)習(xí)內(nèi)容中都有著非常重要的作用，本文探討了數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用及學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，以供參考。

數(shù)學(xué)歸納法 高中數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)應(yīng)用

1 數(shù)學(xué)歸納法的概述

1.1 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)n有關(guān)命題的一種解題方法，它主要用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是一種非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)命題證明方法。

數(shù)學(xué)歸納法并不是一種簡(jiǎn)單的歸納整理的數(shù)學(xué)方法，而是一種利用已知條件對(duì)命題進(jìn)行演繹推理的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)歸納法中，首先通過(guò)對(duì)若干的既成事實(shí)進(jìn)行歸納整理后形成一個(gè)結(jié)論，再依據(jù)命題中的已知條件和歸納得出的結(jié)論進(jìn)行演繹推理，從而得出一個(gè)符合命題解題思路的結(jié)論。

1.2 數(shù)學(xué)歸納法的步驟和適用范圍

數(shù)學(xué)歸納法的基本解題步驟：

1．2．1 第一數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P（n），有如下步驟：

①證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，命題成立。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立；

綜合①和②，得出：對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），命題P（n）都成立。

1．2．2 第二數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n），有如下步驟：

①驗(yàn)證n=n0時(shí)，P（n）成立；

②假設(shè)n0≤nn0）成立，能推出Q（k）成立，假設(shè)Q（k）成立，能推出P（k+1）成立；

綜合①和②，得出：對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），命題P（n），Q（n）都成立。

數(shù)學(xué)歸納法適用于一切有關(guān)正整數(shù)開始N的任意正整數(shù)n大于等于N都成立的算術(shù)型命題。

1.3 數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)歸納法有不同于其他數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法的一種數(shù)學(xué)歸納法能證明命題在n開始的對(duì)于所有自然數(shù)都正確，而不完全歸納法則只能證明n取其中某些數(shù)字時(shí)命題正確，沒(méi)有證明對(duì)于所有的自然數(shù)都正確。

2 數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的應(yīng)用

在不等式證明問(wèn)題中，用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明可以采用函數(shù)與數(shù)列結(jié)合證明的方法。

例如：證明：如果n（n為正整數(shù)）個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n。

則：①當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1，命題正確。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即若k個(gè)正數(shù)的乘積a1a2…an=1，則有a1+a2+…+ak≥k；當(dāng)n=k+1時(shí)，已知k+1個(gè)正數(shù)a1，a2，…，ak，ak+1滿足條件a1a2…ak+1=1。若這k+1個(gè)正數(shù)a1，a2，…，ak，ak+1都相等，則它們都是1，其和為k+1，命題得證。若這k+1個(gè)正數(shù)a1，a2，…，ak，ak+1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)與小于1的數(shù)，否則與a1a2…ak+1=1相矛盾。可設(shè)a1＞1，a2＜1，將乘積a1a2看成一個(gè)數(shù)，這樣就可以得到k個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，…，ak，ak+1的乘積是1，借助歸納假設(shè)法，可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k。所以a3+a4+…+ak+ak+1≥ka1a2，所以a1+a2+…+ak+ak+1-（k+1）≥a1+a2+k-a1a2-（k+1）=-（a1-1）（a2-1），因?yàn)閍1＞1，a2＜1，所以-（a1-1）（a2-1）＞0，所以a1+a2+…+ak+ak+1-k-1＞0，即a1+a2+…+ak+ak+1＞k+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立。

綜合①和②，可知對(duì)于一切正整數(shù)n，如果n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n這一命題成立。

2.2 數(shù)學(xué)歸納法在恒等式證明中的應(yīng)用

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的問(wèn)題也是非常實(shí)用的。例如：證明：1-1/2+1/3+1/4+…+（1/2n-1）-（1/2n）=1/n+1+1/n+2+…+1/2n時(shí)要注意關(guān)鍵步驟不要含糊不清，項(xiàng)數(shù)估計(jì)不能錯(cuò)誤和記住利用歸納假設(shè)的方法，這樣就可以很簡(jiǎn)單的得出命題成立的結(jié)論了。

3 數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)

數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)難點(diǎn)究其根本還是由于學(xué)生沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的邏輯推理理解清楚，從而導(dǎo)致在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)對(duì)于理解邏輯推理和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用方面沒(méi)有學(xué)習(xí)到位，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法在邏輯推理上的嚴(yán)謹(jǐn)性，沒(méi)有較好地理解基礎(chǔ)知識(shí)就生搬硬套地利用數(shù)學(xué)歸納法解決各種問(wèn)題的證明，從而導(dǎo)致證明過(guò)程中出現(xiàn)了邏輯的混亂或者思路不清晰等種種的錯(cuò)誤，這是非常需要注意的。

在數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)上我們還應(yīng)該更加的努力，爭(zhēng)取把數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用和邏輯的推理都理解透徹，學(xué)習(xí)清楚。

[1]張先達(dá).數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊,2011,(14):304-305

[2]肖海燕,代欽.數(shù)學(xué)歸納法在幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版),2011,(04):130-131