高中數學中統計學方差的性質

彭子凌 湖南省長沙市長郡中學

高中數學中統計學方差的性質

彭子凌 湖南省長沙市長郡中學

高中數學中包括了統計學方差的知識，由于學生在初中階段已經對于這部分知識有了基本的認識，因此高中教師針對這部分內容教學相對容易一些。本文主要介紹了高中數學中統計學方差的性質，并總結出了方差性質對于解決問題的作用，希望可以為相關教師和學生提供參考。

高中數學 統計學 方差 性質

統計學方差的性質對于解答一些具有難度的題目有很大的幫助。高中階段的數學難度與初中數學相比要大得多，一些題目不僅僅是考察統計學方差知識，而是考察統計學方差性質的靈活運用。高中教師一直都比較重視統計學方差性質的教學，在教學實踐中也取得了不錯的成效。

1 方差公式的使用需要創建條件

高中數學的難度確實比初中數學的難度更大了，但是值得注意的是高中數學也正是在初中數學的基礎之上增加的難度。因此高中數學統計學中的方差在應用的時候，其性質始終沒有變，而且應用方法不會發生特別大的變化。比如在高中數學中有這樣的知識點，方差公式：S2=〈(M－x1)2+(M－x2)2+(M－x3)2+…+(M－xn)2〉。高中數學統計學方差的性質相對復雜，在創建條件的時候會相對比較麻煩。但是如果學生掌握了方差公式，并且在平常的學習和練習中善于養成觀察題目的習慣，會縮短解答題目的時間。

2 方差公式選擇數據具有靈活性

每一道題目中所包含的信息都有所區別，這都是由題目最后給出的問題決定的。高中統計學方差問題也是如此，在題目中出現的時候本身方式就比較靈活，方差公式的使用更是如此。一般情況下方差的性質可以幫助解決一些經常出現但是無法快速解答的問題。比如針對看上去比較復雜的題目。則可以靈活選擇數據帶入到方差公式中，利用好方差公式的性質解答題目。例如這樣一道題目：式子一是2x+3y+z=13，式子二是4x2+9y2+z2-2z+15y+3z=82。初步觀察題目中給出的已知條件，就這樣一組數據。然后根據初中所學的解答多元二次方程的方法綜合得出（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108，方差S2的等式數據就可以得出來。方差在數學上面被稱為變異數和均方。從這兩個稱呼的字面意思可以知道，它具有度量數據的作用，如果在解答題目的時候運用得當，會起到事半功倍的效果。在高中統計學方差的知識點中，試題的難度有時更高。比如，兩人的5次測驗成績如下：X：50，100，100，60，50。E(X)=72；Y：73，70，75，72，70。E(Y)=72。平均成績相同，但X不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X)：直接計算公式分離散型和連續型，這里具體是一個數。推導另一種計算公式得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。其中，分別為離散型和連續型計算公式。稱為標準差或均方差，方差描述波動。

3 方差具有可加性特點

通過觀察高中數學統計學方差相關試題可以知道，方差的作用是針對一組數據中存在的一些變異總和的測量。而且這種作用就體現在了方差可以利用自身具有的可加性這一明顯性質進行這些變異量的來源。比如在方差試題中常見的關于組間和組內的問題。通過細節化各種問題，方差能夠達到進一步說明每一種變異對于整個結果的影響作用，對于進行進一步推論具有很重要的作用。提到方差，一個不得不提的概念就是標準差，標準差在數學上的優勢是高于數學上的其他差異量數的。

4 方差的應用非常廣泛

高中階段的數學統計學方差相較于初中難度雖然增加了，但是如果與統計學的知識內容相比則要簡單太多，而且就應用的方式來看也主要是集中應用方差公式，用方差公式解答相關題目非常常見。通過調查發現，在高中數學中關于統計學方差相關的試題問題一般都集中于以下集中情況，①根據已知條件求出條件中包括的字母或者式子的取值范圍。②根據兩個或者兩個以上的等式求出代數式的值。③根據題干中給出的等式，求出等式中包含的未知數的最大值或者最小值。④應用統計學方差的性質解答方程組問題也非常常見，尤其是在高中數學中增加了方程組的難度，應用方差的性質解答題目可以減少解答題目所耗費的時間。⑤解答證明等式或者不等式，方差性質的作用也可以發揮到很大。⑥高中數學的幾何證明題豐富了，而且難度增加了很多，學生學習的時候雖然可以掌握最為基本的證明方法。但是一旦將其他的數學知識點綜合到一道題目中之后，就會導致學生連題目都讀不懂的情況。方差性質在這樣的題目中的應用所發揮的作用就是簡化已知條件，求出未知條件，最終將條件綜合成可以直接利用的等式。方差的性質是多樣的，但是始終不會脫離本質，在具體的應用當中需要通過結合其他相關知識，這樣才會令方差性質的價值發揮到最大，以便于學生們掌握數學方法。

統計學方差在高中數學知識中所占比例不大，但是由于其考察方式很靈活，學生掌握起來有難度。統計學方差會貫穿在各種數學知識點中，學生們必須要從方差的基本性質著手做到真正了解和掌握方差知識，才能夠在解答問題的時候達到得心應手的效果。

[1]胡興余.方差性質在解決多元問題中的應用[J].中學數學研究,2015（8）