運用數學方法求解極值問題

杜園園??

摘要：任何物理題的求解過程都是在解決一個數學問題，在解題過程中數學和物理相輔相成，適當運用好這兩個方法是解題的基礎所在。所謂數學方法就是將客觀狀態、過程以及關系用數學表達式表達出來。本文介紹用不同的數學極值法求物理問題。

關鍵詞：數學方法；極值；高中物理

在中學物理學習階段，學生要有用數學方法處理物理問題的能力，在求解過程中，將物理問題轉化為數學問題，再經過對問題的論證、推導、判斷，通過極值法、歸納法或者求導等數學方法解出最后結果，本文就是舉例來說明如何運用數學的極值法來解決物理問題的。

一、 三角函數求極值，靈活又多變

三角函數是高中數學的重要組成部分，而它的應用也是滲透到數學的各個層次中，它的內涵即利用三角形的角和邊的關系來求解，很多時候三角函數的靈活運用可以讓數學問題簡化，物理中引用這個方法可謂新穎而獨特，希望同學能夠掌握。

例1如圖所示，質量M=20 kg的物體水平放置在地面上方，假設地面與該物體之間的摩擦系數為μ=33，該物體在力F作用下向右做勻速直線運動，力F與水平夾角為α，現求這個作用力F至少需要多大？

解析：物體受力分析如圖所示，因為物體做勻速直線運動，所以物理受力呈平衡狀態，理所受的合外力為零，由此可得：Fx=Fcosα-f=0，Fy=N+Fsinα-Mg=0。由以上兩個式子可得：F=μMgcosα+μsinα，要使得力F最小，則需要cosα+μsinα有最大值。cosα+μsinα=1+μ2（11+μ2cosα+μ1+μ2sinα），令tanβ=μ，cosα+μsinα=1+μ2cos（α-β），當α=β時，cos（α-β）最大值等于1。所以：Fmin=μMg1+μ2=33Mg99+39=33129Mg=12Mg。

點撥：本題是典型的數學三角函數在物理解析中的應用，例題當中應用的是“積化和差”方法，然后又利用函數的單調性特點，得出了拉力的最小值。這種計算方法使得判斷過程簡化，思路清晰，計算更快速準確。值得推廣到物理計算當中。

二、 不等式求極值，簡單又實用

例2如圖所示，輕繩的一段固定，另一端系一鋼球，如果拉起鋼球呈水平狀態，在靜止狀態下突然釋放，在鋼球到達豎直狀態之前，小球在何處所受重力的瞬時功率最大？

解析：假設當鋼球運行過程中，與豎直呈θ角到達C點，受力分析得α、β角度關系如圖所示，此時重力瞬時功率為：P=mgvcosα=mavsinθ。小球從水平位置到達C時根據能量守恒可以得到式子：P=mg2gLcosθsin2θ，令y=cosθsin2θ=12（2cos2θsin4θ）=12（2cos2θ·sin2θ·sin2θ），2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2，根據基本不等式a+b+c≥abc，當2cos2θ=sin2θ時y有最大值。由2cos2θ=1-cos2θ得cosθ=33，y及功率P有最大值。

點撥：同一個問題在數學領域有很多種不同的解法，數學當中有很多基礎等式，或者不等式，都可以拿來直接運用。像題目當中的數學基礎不等式就是其中之一，如果熟悉數學的基礎知識，有靈活的解題思想，在物理計算當中，便可以多方聯系，選擇最合適的方法。

三、 導數求極值，快刀斬亂麻

在數學中導數是重點，也是難點。但是導數是一把雙刃劍，利用的好可以輕松化繁為簡，能大大降低計算的難度和計算量，可謂快刀斬亂麻。在大學的高等數學階段更是核心知識。所以中學階段學習導數的應用也很有必要，在這里為同學介紹導數在物理當中的妙用。

例3質量為m的物體與地面之間的摩擦因數為μ，在力F的作用下做勻速直線運動，力F與水平夾角為θ，求夾角θ為多大時候力F最小，最小值為多少。

解析：對物體受力分析可得：Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=0，得F=μmgμsinθ+cosθ，所以μsinθ+cosθ>0，令y=μsinθ+cosθ求導得：y′=μcosθ-sinθ，當y′=0，即tanθ=μ時，y有最大值。此時拉力F最小值為：Fmin=μmg1+μ2。

點撥：本例題當中這道求最小值的問題，就成功的用數學中導數求極值的思想完美解決了。而且解決方法簡潔，計算量比較小。在受力分析之后列出等式就轉化為數學問題了，此時同學需要轉換思維，結合數學用導數求極值的方法，復雜的難題變得一片明朗。

綜合上述的例題的三種方法，運用數學方法解決物理極值問題的思路已經比較明確，接下來就需要學生做好基礎工作，千層高樓必須有牢固的地基，所以解決復雜問題的能力都是建立在夯實知識的基礎上，本文希望能夠拋磚引玉，以便開闊學生思維，提高學生解題的綜合能力。

參考文獻：

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