高等數學“三合一”教學模式的探索與實踐

周芳芹+劉健

摘 要：為了解決學生在高等數學學習過程中的學習困難問題，文章通過結合數學實驗、數學建模等課程的教學，提出了高等數學“三合一”教學改革思路：概念形成體驗課、數學輔助計算工具體驗課、數學建模應用體驗課“三合一”實踐體驗教學模式，加強學生對高等數學中微積分知識的了解，使得高等數學的課堂教學實現數學知識、數學應用、數學計算同時得以提升的效果。

關鍵詞：高等數學；數學實驗；數學建模

在工程技術領域中，不斷涌現許多需要建立數學模型、再輔之以計算機計算軟件才能得以解決的復雜問題。要解決這些問題，對工程人員的建模和計算機計算能力要求越來越高。對在今后的工程研究中起中堅作用的工科大學生而言，其必須具有較強的建模和計算機輔助計算能力，如果這方面的能力缺失，必然會限制其未來的發展空間。這些能力如何獲得？很多高校都有了共識，在開設高等數學課程的前提下新增開了數學建模、數學實驗兩門獨立課程，力求通過數學建模、數學實驗課的開設來培養學生的數學應用意識、數學建模和計算能力。我們在教學實踐中發現，獨立開設這三門課程的教學效果很不理想，例如，學生在學習高等數學時，教師反復強調數學是基礎、工具，但學生感受到的都是抽象概念；學習數學建模、數學實驗課的時候，學生又發現不知如何運用數學知識解決實際問題。不僅如此，數學建模、數學實驗課的教材難度較深，同時需要掌握相關軟件的應用，使得學生對數學課程產生厭棄情緒。為了解決目前的教學困境，實現教育教學目標，培養學生具備運用現代技術解決實際問題的能力，在高等數學教學中探索“三合一”教學改革的思路，結合數學建模和數學實驗，發揮數學建模、數學實驗課程優勢，開發通過合適的實驗更好地理解高等數學的核心思想，使得高等數學教學能夠提高學生數學計算、數學應用、使用數學計算軟件的綜合能力。

一、高等數學“三合一”教學模式

高等數學“三合一”教學模式主要是指在高等數學的教學過程中，設計一些有針對性的實驗課內容，將數學建模、Matlab輔助求解融入高等數學教學中的教育教學中。它與傳統的高等數學、數學建模、數學實驗（Matlab操作）三門課獨立教學完全不同，是將數學建模方法、Matlab輔助求解融入高等數學的教學中，旨在促進學生更加深入地理解數學思想內涵，簡稱“三合一”教學。

二、高等數學“三合一”教學的方案設計

為了將傳統的高等數學、數學建模、數學實驗三門課程的教學目標有機地融合在一起，使得學生能夠更好地理解數學知識，增強數學應用意識，感受數學計算的便捷性，高等數學“三合一”教學模式主要側重在原來的單一的理論課的講授方式上再加入三種實驗課形式：概念形成體驗課、數學輔助計算工具體驗課、數學建模應用體驗課。

1.概念形成體驗課

高等數學課程中的導數、定積分這兩個概念就適合用體驗式的學習方式，由于概念描述篇幅很長，思路較為煩瑣，又涉及極限思想，所以普通教學模式下，學生學完后對導數和定積分的本質還是不清楚，而采用概念形成體驗課就能讓學生對概念表示的式子理解得更加深刻。例如，對定積分概念的描述，教材解釋部分過長，經歷分割、求近似、求和、取極限四個步驟才得到結果，而結果公式化也很抽象。為了更好地理解定積分概念，我們設計一個相應的概念體驗實驗課，在實驗中，我們將事先編好的Matlab演示程序發給學生，讓學生在操作改變的取值時，體驗面積之和S=f（）△xi的動態變化，通過繪制表格，觀察、體會定積分的概念的含義，并作圖表示和S=f（）△xi與定積分f（x）dx的關系，從而加深領會定積分的定義。

實驗的具體設計：

（1）實驗目的：觀察定積分概念的形成（以（x2+1）dx為例）。

（2）實驗過程：首先要求學生寫出等分割時（x2+1）dx的計算式；再完成表格，觀察時，面積之和式f（）△xi的值的變化；再將面積之和式f（）△xi代表的幾何意義表示出來，觀察f（）△xi與（x2+1）dx的關系。通過以上步驟，學生可以得到：表示面積之和式值的陰影部分面積與表示定積分的曲邊梯形面積無限接近。

（3）實驗結論：首先根據實驗過程總結定積分的概念形成過程，并寫出定積分表達式；進而理解定積分的概念形成過程：分割→求近似→求和→取極限；即：f（x）dx=f（）△xi。

整個實驗的設計意圖就是讓學生可以切實地從“數”和“形”兩個方面體驗定積分概念的形成過程，一方面通過計算獲得面積之和的值，并觀察值的變化，感受定積分概念的形成；另一方面通過改變分割小區間數目畫出表示和式值的圖形，觀察數目變化時圖形面積的變化趨勢，感受定積分形成過程。通過具體的、親身的體驗，學生對抽象定義f（x）dx=f（）△xi就更容易理解并接受。

2.數學輔助計算工具體驗課

一直以來，高等數學課程的教學給人的印象就是極限、導數、積分的計算技巧訓練課，其中的運算煩瑣且困難，很多學生就是在漫長的計算訓練中慢慢失去對數學的興趣和信心。數學輔助計算工具體驗課是學生在完成基本概念和基本運算的學習后，到實驗室體驗數學軟件的輔助計算功能，體驗有了工具輔助后數學運算的便捷性。如在完成極限、導數、積分的概念與運算的學習后，推薦學生應用Matlab進行極限、導數、積分計算，利用Matlab可以非常快捷地得到結果，不需要考慮具體表達式的計算技巧。這樣，學生就可以避免枯燥和煩瑣的計算，節省出大量的精力和時間，以輕松心態了解極限、導數、積分的基本思想方法。

實驗的具體設計：

（1）實驗目的：熟悉Matlab中的求極限、導數、積分命令（limit，diff，Int）。

（2）實驗內容：選取常見初等函數結合重要極限性質進行計算；對復合函數、隱函數求導；極值和最值問題；積分的換元、分部積分方法等。利用編程簡化計算過程，熟悉常見指令的使用方法，從而實現利用Matlab幫助解決實際數學問題。

數學輔助計算工具體驗課的設計意圖是給學生提供一種快速進行微積分計算的新途徑，節省計算的時間，把學生的學習重點引導到微積分的核心思想上。這種實驗體驗課所占課時較少，但是培養學生實踐能力的效果突出。學生能夠利用軟件工具，掌握基本操作命令，熟悉編程的基本步驟，就可以實現輔助計算。

3.數學建模應用體驗課

數學建模是數學應用的重要形式，主要通過實際背景提出問題、建立數學模型、應用適當方法求解問題的一系列過程，促進學生理解數學基礎知識、提高綜合應用能力。高等數學課程中導數的應用、積分的應用、微分方程等模塊的內容就適合設計數學建模應用體驗課，學生通過親自動手，體驗數學知識并結合實際生活，拉近抽象知識與現實的距離，將數學方法和思想深刻植入心中，影響深遠。

數學建模應用體驗課的具體設計以“椅子在地上能不能放穩？”建模練習為例：

（1）實驗目的：了解建立實際問題的數學模型的一般過程；感受數學與現實的關系，體會學好微積分知識的重要性。

（2）問題導入：在日常生活中有這樣的現象：椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，然而只需稍微挪動幾次，一般都可以使四只腳同時著地，建模說明此種現象。

（3）建立數學模型：模型假設、建立模型、模型求解、評注和思考。經過假設，將生活中椅子四腳著地問題抽象為數學問題，即驗證滿足條件：f（θ），g（θ）連續；，f（θ）·g（θ）=0；且g（0）=0，f（0）﹥0時，一定θ0，使得f（θ0）=g（θ0）=0。

模型的求解即用連續函數的基本性質（零點定理）證明上面的數學問題。

（4）實驗總結：感受零點定理在實際生活中的應用，學習數學建模的方法。

數學建模應用體驗課的設計意圖：主要是通過從實際問題到數學問題的抽象、求解，再回到解釋說明實際現象的思維過程體驗，使得學生對數學知識的本質認識得更加深刻、形象，原來課程中枯燥無趣的數學定理、計算方法，有了對應思維數學模型后，變得生動立體，學生理解和記憶就變得簡單。有時在求解數學模型的過程中還要借助數學軟件計算才能很好地計算出結果，這也鍛煉了學生的計算機計算能力。

三、結語

三種體驗課：概念形成體驗課、數學輔助計算工具體驗課、數學建模應用體驗課是配合理論課的學習而設計的，其設計的具體教學過程的最終目的是希望學生更好地理解數學的基本理論知識，體會數學的應用價值，提高利用計算機進行輔助探究的綜合能力。通過進行數學實驗的體驗，使得抽象的數學概念公式具體化；數學輔助計算工具體驗課通過數學軟件的輔助，快速地進行微積分運算，使得煩瑣的數學運算變得輕松愉快；數學建模應用體驗課通過構建數學模型的練習，讓學生所學的知識踏實落地，使數學與現實水乳交融。總之，所有的體驗都是為了讓學生從傳統的數學學習的“記、背、算”的模式解脫出來，真切地領會數學的核心思想方法，直接感悟數學的深邃理論，使學生最終獲得持續永久的數學思維能力，并且通過數學實驗的體驗操作，提升學生參與數學課堂的熱情，激發學生對高等數學的學習興趣。

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（作者單位：衢州學院）