探析如何培養初中生數學合情推理能力

本國梅

長期以來，中學數學教學一直強調教學的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，使人們誤認為數學就是一門純粹的演繹科學，事實上，數學發展史中的每一個重要的發現，除演繹推理外，合情推理也起重要作用，如哥德巴赫猜想、費爾馬大定理、四色問題等的發現，其他學科的一些重大發現也是科學家通過合情推理、提出猜想、假說和假設，再經過演繹推理或實驗得到的。如牛頓通過蘋果落地而產生靈感，經過合情推理，提出萬有引力的猜想，后來通過庫侖的紐秤實驗證實，海王星的發現更是合情推理的典范。合情推理與演繹推理是相輔相成的，波利亞等數學教育家認為，演繹推理是確定的，可靠的；合情推理則帶有一定的風險性，而在數學中合情推理的應用與演繹推理一樣廣泛。嚴格的數學推理以演繹推理為基礎，而數學結論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發現的，因此，我們不僅要培養學生演繹推理能力，而且要培養學生合情推理能力。《標準》要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例。”也就是要求學生在獲得數學結論時要經歷合情推理到演繹推理的過程，合情推理的實質是“發現一猜想”，因而關注合情推理能力的培養有助于發展學生的創新精神，當然，由合情推理得到的猜想，需要通過演繹推理給出證明或舉出反例否定，合情推理的條件與結論之間是以猜想與聯想作為橋梁的，直覺思維是猜想與聯想的思維基礎。培養學生善于合情推理的思維習慣是形成數學直覺，發展數學思維，獲得數學發現的基本素質，因此在數學教學中，既要強調思維的嚴密性，結果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發現性，即應重視數學合情推理的合理性和必要性。充分發揮課堂教學的作用，漸進而有序地培養數學合情推理能力，提高學生素質，促進學生健康、全面地發展。

數學家波利亞說過：數學可以看作是一門證明的科學，但這只是一個方面，完成了數學理論。用最終形式表示出來。像是僅僅由證明構成的純粹證明性。嚴格的摘要隨著教育改革的全面推進，新教材糾正了舊教材那種過分強調推理的嚴謹性，以及渲染邏輯推理的重要性，而是提出了新的觀點“合理推理”是新教材的一大特色。本文就新形勢下的初中數學教學中學生推理能力的培養做了探索。

數學推理以演繹推理為基礎，而數學結論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發現的。那么什么是合情推理呢？它是由一個或幾個已知判斷推出另一個未知判斷的思維形式，合情推理是根據已有的知識和經驗，在某種情境和過程中推出過能性結論的推理。合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯想、自覺、頓悟，靈感等思維形式。合理推理所得的結果是具有偶然性，但也不是完全憑空想象，它是根據一定的知識和方法，做出的探索性的判斷。因而在平時的課堂教學中培養學生的合情推理是一個值得深思的課題。

當今教育改革正在全面推進。培養學生的創新意識和創新能力是大家公認的新教改的宗旨。合情推理是培養創新能力的一種手段和過程。人們認為數學是一門純粹的演繹科學，這難免太偏見了，忽視了合情推理。合情推理和演繹推理相輔互相成的。在證明一個定理之前，先得猜想。

發現一個命題的內容，在完全作出證明之前，先得不斷檢驗，完善，修改所提出的猜想，還得推測證明的思路。合情推理的實質是：“發現到猜想”。牛頓早就說過；“沒有大膽的猜想就沒有偉大的發現。”著名的數學教育家波利亞早在1953年就提出：“讓我們教猜測吧？先測后證一這是大多數的發現之道”。因此在數學學習中也要重思維的直覺探索性和發現性，即應重視數學合情推理能力的培養。數學中合情推理能力大致分為以下四個方面內容：

一、恰當創設情境，引導學生觀察

合情推理并非盲目的、漫無邊際的胡亂猜想，它是以數學中某些已知事實為基礎，通過選擇恰當的材料創設情境，引導學生觀察，euler曾說過：“數學這門科學，需要觀察，還需要實驗。”觀察是人們認識客觀世界的門戶，觀察可以調動學生的各種感官，在已有知識的基礎上產生聯想，通過觀察還可以減少猜想的盲目性。同時觀察力也是人的一種重要能力，所以在教學中要給學生必要的時間和空間進行觀察，培養良好的觀察習慣，提高觀察力，發展合理推理能力。

例如，把20，21，22，23，24，25這六個數分別放在六個圓圈里，使這個三角形每邊上的三個數之和相等。通過觀察圖形以及這六個數后，我們應該想到，較大的幾個數或較小的幾個數不能同時在三角形的某一邊上，否則其和就會太大或太小，也就是說，可以把較小的三個數分別放在三個頂點上，再把三個較大的數放在相應的對邊上。

二、精心設計實驗，激發學生思維

gauss曾提到過，他的許多定理都是靠實驗、歸納法發現的，證明只是補充的手段，在數學教學中，正確地恰到好處地應用數學實驗，也是當前實施素質教育的需要。著名的數學教育家george polya曾指出：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但是另一方面，在創造過程中的數學更像是一門實驗性的歸納科學”，從這一點上講，數學實驗對激發學生的創新思維有著不可低估的作用。

三、仔細設計問題，激發學生猜想

數學猜想是數學研究中合情的推理，是數學證明的前提，只有對數學問題的猜想，才會激發學生解決問題的興趣，啟迪學生的創造思維，從而發現問題、解決問題，數學猜想是在已有數學知識和數學事實的基礎上，對未知量及其規律做出的似真判斷，是科學假說在數學的體現，它一旦得到論證便上升為數學理論，牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現，”數學家通過“提出問題一分析問題—作出猜想—檢驗證明”，開拓新領域，創立新理論。在中學數學教學中，許多命題的發現、性質的得出、思路的形成和方法的創造，都可以通過數學猜想而得到，通過猜想不僅有利于學生牢固地掌握知識，也有利于培養他們的推理能力。

總之，數學教學中對學生進行合情推理能力的培養，對于我們教師，能提高教學效率，增加課堂教學的趣味性，優化教學條件，提升教學水平和業務水平。對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題而且能使學掌握在新問題出現時該如何應對的思想方法。