尺子上行走的螞蟻

文/林 革

尺子上行走的螞蟻

文/林 革

這是一道與螞蟻有關的令數學家興奮的妙題.

有100只螞蟻分布在一把l米長的尺子上，尺子不僅離開地面有相當距離，而且尺子很窄，不能讓兩只螞蟻并排前進或交叉通過.已知這些螞蟻都在尺子上或向左或向右沿直線爬行，始終保持每分鐘1米的爬行速度.比較奇特的是，任何兩只螞蟻只要碰頭，就會立刻掉頭向相反的方向爬行.當然，這些個性固執的螞蟻結局相同——爬到尺子的盡頭時一只只相繼掉落.現在的問題是：最多經過多長時間，所有100只螞蟻都會從尺子的盡頭落下去？

可以確信的是，絕大多數人在解答之前，都預想螞蟻的現實場景：一般情形下，總會有許多相向而行的螞蟻，有的向左有的向右，碰頭就轉向，這樣一來，尺子上的情形就變得非常復雜.即使只有3只螞蟻，要計算出它們走多久才掉下去，似乎就不容易了，更不用說是100只.

只有一種極端情形例外，那就是所有螞蟻都朝一個方向前進，因為它們的速度完全相同，皆為1米／分，就不會產生你追我趕的局面，那么這些螞蟻朝同一方向依次掉落的情況并不難解決.只要考慮落在最后的那只螞蟻，那怕它處在尺子的最末端，走到尺子的最前端也不過1米，那么最多經過1分鐘，100只螞蟻都會從尺子的盡頭掉落.由此引發的理想情形是：如果螞蟻不都朝著一個方向前進，但只要它們碰面后不掉頭，各自繼續前行，那么這些螞蟻就會從尺子的兩端紛紛掉落，最長的時間仍可用位于最左端或最右端的一只螞蟻來考慮，結果仍是最多1分鐘.

相信你會皺著眉頭感嘆：哪有這樣的好事啊!題目已經交待得很清楚，螞蟻或左或右，而且尺子很窄，不能讓兩只螞蟻并排前進或交叉通過.也難怪，當一位非常聰明善于思考的天體物理學家面對這個問題時，本能的反應就是需要立刻進行一次超復雜的模擬，使自己能夠在數百萬種不同的場景中找到其中的規律.真的需要這么做嗎？回答是否定的，因為這位智者過高估計了這道螞蟻問題的難度.

事實上，我們只要把兩只螞蟻迎面相撞進行合理的想象或轉化，問題就會變得極其簡單.想一想，當兩只相向而行的螞蟻A、B碰面時立刻掉頭，并且速度始終保持不變，那么，你只要一眨眼再觀察時，一切都沒有發生改變，向左的螞蟻依然向左，向右的螞蟻仍舊向右，相遇似乎并沒有對它們產生任何影響.當然，這是錯覺，因為真實的情況是你現在看到的螞蟻A已經變成了螞蟻B，只是外觀和速度的一致性決定了螞蟻連續行進的錯覺，但這種錯覺導致了一個顯而易見的合理事實：尺子上兩只螞蟻相遇掉頭與兩只螞蟻交叉通過的情形完全等同.

因此，尺子上的100只螞蟻，無論哪一只與另一只碰頭，都會進行瞬間替換.不妨假設替換的時間忽略不計，所以就整體而言，每只螞蟻都在沿著自己原先的路線前進，自然流暢不受任何阻礙，個個都直奔尺子的邊緣掉落.

如此一來，螞蟻問題就自然轉化為上面提到的理想模式，解答也變得清晰直觀.一只螞蟻需要走過的最長距離，顯然不會超過尺子的長度1米.因為螞蟻的行進速度是1米／分，而且每只螞蟻都一條道走到黑，那么最多經過1分鐘，100只螞蟻都會從尺子的盡頭掉落下去.

可以肯定，解答如此簡捷是許多人沒有想到的，可答案就是這么簡單.當然這種簡單是建立在不拘泥于細節的全局審視的前提下，并充分反映出數學中的整體思維與轉化思維的應用.這正是“螞蟻問題”的內涵意義.

王二喜