解直角三角形的應用

文 /陳德前

解直角三角形的應用

文 /陳德前

解直角三角形的應用是中考命題的熱點素材.解決這類問題的基本思路是從具體情境中抽象出數學問題，建立數學模型并求出結果.下面以2017年中考題為例，對解直角三角形的題型進行歸類，供你學習時參考.

一、仰角與俯角問題

例1如圖1所示，一架水平飛行的無人機AB，在尾端點A測得正前方橋的左端點P的俯角為α，其中無人機的飛行高度AH為米，橋的長度為1255米．

（1）求點H到橋左端點P的距離；

（2）若在無人機前端點B測得橋的右端點Q的俯角為30°，求這架無人機的長度AB．

解：（1）在Rt△AHP中，

圖1

答：點H到橋左端點P的距離為250米.

（2）作BC⊥HQ于點C．在Rt△BCQ中，

∵PQ=1255米，∴CP=CQ-PQ=245米.

∵HP=250米，∴AB=HC=HP-PC=250-245=5（米）．

答：這架無人機的長度AB為5米．

方法歸納：這類問題通常涉及到多個仰角與俯角.要準確理解仰角、俯角的概念，在已知仰角與俯角的直角三角形中求出相關線段的長度，利用線段解決問題.

二、方位角問題

例2一艘漁船位于港口A北偏東60°方向，距離港口20海里的B處，它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現故障，在C處等待救援.B，C之間的距離為10海里，救援艇從港口A出發20分鐘到達C處，求救援艇的航行速度.（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，結果取整數）

圖2

解：如圖2所示，作BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF.

由題意可知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，∴∠BAD=30°.

∵AB=20海里，∴BD=10海里.

在Rt△BCE中，CE=BC·sin37°≈0.6×10=6（海里），

EB=BC·cos37°≈0.8×10=8（海里）.

易知四邊形ADEF是矩形，

∴EF=AD=17.32海里，

∴FC=EF-CE=11.32（海里），AF=ED=EB+BD=18（海里）.

答：救援艇的航行速度是64海里/時．

方法歸納：添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.構造不同的直角三角形，解題過程有簡繁之分，注意從不同的解法中選取最佳解法.

三、坡度、坡角問題

例3為做好防汛工作，防汛指揮部決定對某水庫的水壩進行加高加固.專家提供的方案是：水壩加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1∶1（即DB∶EB=1∶1），如圖 3所 示，已知 AE=4米，∠EAC=130°.求水壩原來的高度BC．（參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

圖3

解：設BC=x米.

在Rt△EBD中，∵i=DB∶EB=1∶1，∴BD=BE，

答：水壩原來的高度為12米．

方法歸納：將坡度、坡比轉化為線段的比，構造直角三角形求解.當關系比較復雜時，可設未知數，用未知數表示不同的量，列方程求解．

四、其他問題

例4圖4是太陽能熱水器裝置的示意圖，利用玻璃吸熱管可以把太陽能轉化為熱能，玻璃吸熱管與太陽光線垂直時，吸收太陽能的效果最好.假設某用戶要求根據本地區冬至正午時刻太陽光線與地面水平線的夾角（θ）確定玻璃吸熱管的傾斜角（太陽光線與玻璃吸熱管垂直），請完成以下計算：如圖5，AB⊥BC，垂足為點B，EA⊥AB，垂足為點A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足為點G.

（1）若∠θ=37°50′，則AB的長約為_______cm；

（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的長．

（參考數據：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）

圖4

圖5

圖6

解：（1）如圖6，作EP⊥BC于點P，作DQ⊥EP于點Q，則CD=PQ=10，∠2+∠3=90°.

∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，∴∠3=∠θ=37°50′，則EQ=DE·sin∠3=120×sin37°50′，

∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2（cm）.

（2）如圖6，延長ED、BC交于點K，由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°.

方法歸納：將實物（或剖面圖）轉化為數學圖形求解.

王二喜