生活中的相似

文/鄧革周

生活中的相似

文/鄧革周

相似三角形是初中數學的重要內容，是研究幾何與圖形的基礎，它的應用很廣泛.現把相似三角形在生活中的應用歸類如下.

一、測量高度

例1如圖1，小明為了測量一涼亭的高度AB（頂端A到水平地面BD的距離），在旁邊放置一個與涼亭的臺階BC等高的臺階DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三點共線），把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得CG=15米，然后沿直線CG后退到點E處，這時恰好在鏡子里看到涼亭的頂端A，測得EG=3米，小明身高1.6米.涼亭的高度AB為（ ）

A．8.5米. B．9米. C．9.5米. D．10米.

解：由題意得∠AGC=∠FGE，

∠ACG=∠FEG=90°，

∴△ACG∽△FEG，

∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5（米）．選A．

圖1

評點：本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是根據光的反射定理找到相似三角形.

二、測量寬度

例2如圖2，M、N為山兩側的兩個村莊，兩村的交通不方便，根據國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞.工程人員為了計算工程量，必須計算M、N兩點之間的直線距離，選擇測量點A、B、C，點B、C分別在AM、AN上，現測得AM=1千米，AN=1.8千米，AB=54米，BC=45米，AC=30米，求M、N兩點之間的直線距離．

解：在△ABC與△ANM中，

圖2

解得MN=1500（米）.

答：M、N兩點之間的直線距離是1500米.

評點：從公共角（∠A）出發，利用“兩邊對應成比例且夾角相等”構造相似三角形，從而求解.

三、確定裁剪方案

例3直角三角形的鐵片ABC的兩條直角邊BC、AC分別為6和8，如圖3所示.現分別采用圖3、圖4兩種方法，剪出一塊正方形鐵片，為使剩下的邊角料較少，試比較哪種剪法合理，并說明理由．

解：在圖3中，設DE=CD=EF=CF=x.

圖3

在圖4中，作CM⊥AB，垂足為M，交DE于N.設正方形的邊長為y．

在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，

∵x＞y，∴圖3中正方形的面積大，即剩下的邊角料較少.

故圖3的剪法合理．

圖4

評點：要求邊角料較小，就是使正方形的面積較大，即邊長較長.

四、資金預算

例4石山社區擬籌資金4500元，計劃在一塊上底、下底分別為10m、20m的梯形空地上種植花木（如圖5所示）．他們想在△AMD和△BMC種植單價為20元/m2的太陽花．當△AMD種滿花后，花了1000元錢.請預算一下，若繼續在△BMC上種植同樣的太陽花，資金是否夠用？并說明理由．

解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC，

∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，

∴△AMD∽△CMB，

圖5

當△AMD種滿花后，花費1000元，所以,種滿△BMC所需費用為1000×4=4000元.

而1000+4000＞4500,資金不夠用．

評點：靈活運用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”的結論是解題的關鍵．

五、房屋采光

例5已知，如圖6，CD為一幢3米高的溫室，其南面窗戶的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影長CF為2米，現欲在距C點7米的正南方A點處建一幢12米高的樓房AB（設A，C，F在同一水平線上）．

圖6

（1）按比例較精確地作出高樓AB及它的最大影長AE；

（2）若大樓AB建成后是否影響溫室CD的采光，試說明理由．

解:（1）作出高樓AB及最大影長AE如圖7所示.

(2)如圖7，∵HE∥DF，HC∥AB，

圖7

由AC=7米，可得CE=1米，

故影響采光．

評點：同一時刻同一地點，物體的高與其影長的比值不變.

王二喜