數學學習中巧解不等式的幾種方法

◎徐雨欣

數學學習中巧解不等式的幾種方法

◎徐雨欣

針對高中數學課程而言，不等式求解是學生學習的重難點，常見于高考數學考試當中。學生在實際問題解決時不僅要保證問題解決的準確性，同時還應當確保問題解決速度的提升。這就需要切實掌握多種不等式解題方法，實現靈活的問題解決。本文簡要就數學學習中常用的不等式解題方法進行分析，并列舉實例進行探討該解題策略的應用，以期為廣大高中學生實現不等式解題水平的提升提供參考。

高考在就不等式知識進行考察時所能利用的考察方式較多，對于學生的知識利用靈活度的要求較高。學生在實際問題解決時，應當切實掌握多種問題解決方法，將數學思想用作解題工具運用于實際問題解決當中，快速準確找到問題解決的關鍵點。避免在不等式選擇題、填空題等簡單且分值較低的解題時出現不必要的失誤，以提高數學考試成績。

利用特殊值進行不等式問題驗證

不等式知識在實際考察中的考察形式較為多變，除了計算類大題之外，其還可能通過選擇題、填空題等形式出現。在這種情況下，學生應當保證問題解決速度，其可通過特值驗證法進行問題解決，節省時間與精力。該解題方式主要是指，在原問題的多個備選答案中選擇一個，并將其代入到原本問題的題設條件當中進行逐個檢驗，從而確定該問題唯一或者多個正確的選項，避免了繁復的問題計算與問題分析，實現解題效率的提升。

例1：若存在x≥0，則不等式(5－a)x2－6x＋a＋5＞0始終成立，試求出不等式中的實數a的取值范圍為( )

A．(－∞，4)

B．(－4,4)

C．[10，＋∞)

D．(1,10]

學生在就該問題進行解決時，就可利用特殊值檢驗法來得出問題答案。由于該題中主要是給出了多個區間，所以學生可在選擇各個區間中不共有的數值代入到不等式當中，判斷其在滿足x≥0的情況下，不等式是否恒成立。即當a＝10，則不等式為－5x2－6x＋15＞0， 所 以5x2＋6x－15＜0，若要求x≥0，則該不等式并不能恒成立，所以答案C，D錯誤。而當a＝0時，不等式可表示為5x2－6x＋5＞0，若要求x≥0，則該不等式恒成立，所以答案A錯誤，B正確。

利用分類討論的方法進行問題解決◎

含參不等式是常見的不等式問題題型，學生在就該類型問題進行解決時，為實現問題解決的全面性與準確性，可首先將不等式的參數進行分類討論，從而實現問題解決。而分類討論問題解決的關鍵在于正確的選擇分類討論的標準，常見的討論標準包括指數底數、函數開口方向以及該函數與x軸的交點個數等多方面。

例2：:當存在log2a1+a211+a＜0時，試求出未知數a的取值范圍（）。

A.（112，+ ∞）

B.（1，+ ∞）

C.（112，1）

D.（0，112 ）

學生在就該問題進行解決時可以明確該題型屬于典型的含參不等式，可利用分類討論的方式快速的進行問題解決。這里可選擇函數的指數底數進行問題討論。即若 0＜2a＜1，則 log2a1+a211+a＜0，即 0＞1+a211+a＞1時， 不 存 在 這 一 種 情況。而若 2a＞1，則 log2a1+a211+a＜0，即0＜1+a211+a＜1時，最終得出a＞112，所以選擇A。

利用換元思想進行問題解決◎

該問題解決方式的應用主要是指學生在問題解決時利用一個或多個變量來就原量進行替換后進行不等式求解，最后再返回原變量進行答案轉化的解題方式，將問題的未知量轉化成已知已知量。

例3：:若a，b∈R，且a2+2b2=6，試求出未知數a+b的最小值為（）.

A.-22

B.-5313

C.-3

D. -712

學生在就該問題進行解決時，可使a=6sinα，b=3cosα， 所 以 a+b=3sin（α+φ），而這里的tanφ=212，因此a+b的最小值為-3。

數形結合思想◎

數形結合思想是不等式問題解決中最常用到的問題解決方法之一，該方法在實際應用中主要是指，若問題中需要求解的不等式本身就含有鮮明的幾何意義特征或者該不等式是函數所構成的，則學生在進行該類型問題解決時可首先畫出相對應的圖像來就該不等式進行直觀呈現。將抽象的問題具體化后，再根據該圖像進行問題分析，最終求出不等式問題的解。

例4：現有a＞0，并且有關于x,y不等式為x≥2x+y≤4y≥a(x-4)，已知目標函數可表示為z=2x+y，（函數最小值為2），計算a的取值范圍。學生在進行該問題解決時會發現該題目本身就含有函數，但是由于未知數數量過多，所以學生往往難以直接根據已知條件就函數所表達的直線進行繪出。但是題中已有該目標函數的最小值為2的條件，所以學生在進行函數圖像繪制時應當轉變解題思維。首先在平面直角坐標系中畫出已知條件的圖像，但這過程中應當注意，要通過虛線、實線等不同的表達方式來就“≥、＞”等符號進行標出。根據已知條件a＞0可知，所表示的直線y≥a（x-4）過直角坐標系的第一、三象限。且若目標函數過點A（2，-2a），則該函數呈現為最小值。學生把該點坐標代到目標函數中，便能計算得到a=1。

不等式是高中數學學習中的關鍵知識，不僅需要學生掌握該部分基礎知識，同時還要求學生在面對實際問題時能應用所學知識和數學思想快速準確的進行問題解決。在提高解題方法掌握能力提升的同時，不斷進行不等式問題解決經驗的總結，方便在實際考試中更快更好地進行相關問題解決。

（作者單位：湖南省長沙市第一中學）