淺談數學中的對稱性及其應用

段恩祥

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）16-0112-01

一、日常對稱及數學中的對稱性

人們在日常生活中對對稱的理解很簡單，事物兩邊的分布基本相同，就看作是對稱的。對稱圖形在我拉生活中比比皆是。

對稱性在數學研究中有不可替代的作用，并且在數學應用領域中非常廣泛，在做題過程中，應用對稱性可以便于理解，起到事半功倍的作用。

二、數學中對稱性的表現

數學中對稱性在現實生活中應用隨處可見，處處都離不開它。并且在數學中我們都可能用到對稱性，生活中更是離不開它。數學中所有公式、圖形、結構等等的對稱，都被看作是數學中對稱性。

小學數學中有奇數、偶數；初中數學中有正數、負數；高中數學中像二項式展開：，，，…對稱最明顯，再比如：點P（m、n）關于x軸的對稱點 P0（m、-n），P和P0兩點關于x軸的對稱。數學中的對稱還有很多等等。

（一）圖形的對稱：數學中的圖形大多數是對稱圖形，對稱圖形分為中心對稱、軸對稱等等。比如，圓既是中心對稱也是軸對稱圖形；球體是中心對稱而且所有過對稱中心的平面都是對稱平面。立體幾何圖形中對稱軸最多的是球形，平面圖形中對稱軸最多的是圓形。

生活中建筑物中有很多是對稱的，例如故宮、天安門、人民大會堂、等建筑都體現了對稱性，這些建筑都是數學中的軸對稱圖形和中心對稱圖形在實際中的應用。

（二）數字的對稱：在自然數中，我們把從左向右看和從右向左看數字都一樣，換句話說，就是“數字排列左右對稱”，就把它叫做“回文數”。比如232、23432、123454321都是回文數。當然，由同一個數字組成的數，如2222、333就是回文數，84+48=132，132+231=363，363也是個回文數。人們對大自然進行了這樣的計算，都得到了回文數。

（三）公式的對稱：在我們所學過的數學公式中，對稱一直存在。比如加法、乘法的運算定律：，，等；完全平方差以及平方差公式：。在計算三角形面積的公式中也存在著很多的對稱性。

二項式定理的展開式呈現的也是一種對稱性：，，，…展開式的系數當1，2，3… 時，列成表便出現了一種幾何對稱：

上圖除1以外的每個數都等于上邊兩個數之和，這就是著名的“楊輝三角”，它是我國數學發展史上的一個輝煌成就，它反映的就是數學中的典型對稱性。

三、數學概念與定理的對稱性

數學對稱性也表現在各種概念和定理的對稱性。如正弦定理，概括了三角形邊、角與外接圓的半徑之間的關系，結構對稱。奇數與偶數、也可視為對稱關系。從運算關系角度看，加與減、乘與除、乘方與開方，指數與對數、微分與積分等等，這些互逆運算都是對稱關系，從函數角度看，函數與反函數也是一種對稱，從命題角度看，原定理與逆定理、否定理也存在著對稱關系等等。

四、數學解題中對稱性的應用

生活中對稱是人們看一個物體是否美觀的標準，它不僅已經成為一種深刻的思想，而且還是一種解決問題的方法。它影響了每個人的思想，人們還擅長用它來解決實際問題。在數學解題步驟中要考慮到對稱性，并且運用對稱性進行思考，可以使我們找到比較好的解題方法，在數學中有很多的應用。

（一）在函數中的應用：關于原點對稱是奇函數，關于y軸對稱是偶函數；函數圖像對稱轉換：函數的軸對稱；函數的點對稱；函數的對稱性與周期性的聯系等等。

（二）在幾何圖形中的應用：對稱思想在平面幾何、解析幾何、立體幾何、身影幾何中都有應用。如點關于已知點或已知直線對稱點問題；曲線關于已知點或已知直線的對稱曲線問題；曲線本身的對稱問題等等。

（三）在數列中的應用：如果等差數列是有限的，那么與首末兩項距離相等的兩項的和相等。

五、中學數學教學與對稱性

成功的教學總是給人以一種享受.從古至今，在數學教學中，教師要看重基礎知識和基本技能的講解與練習，運用數學中存在的對稱性，應用這些特點來激發學生的學習興趣，增強學習數學的動力。

在數學教學過程中，充分發現數學中的對稱性，運算中的對稱性、函數中的對稱性、幾何圖形中的對稱性，激發學生發現數學中的對稱性，使學生從感性認識上升到理性認識，使學生對所學的知識更易于接受，便于理解，培養學生愛好數學的興趣。

在數學問題的求解過程中，充分運用對稱性的思想方法，可以提高學生的直覺思維能力和形象思維能力，開拓解題新思路，進而提高學生解決問題的能力和對數學思想方法的領悟，使學生由此而產生學習數學的興趣.在數學解題過程中，若能積極挖掘問題中隱含的對稱性，巧妙地利用對稱性，可使復雜的問題變得條理清楚，如果能對其結構進行對稱性的分析，從而確定解題的總體思路或入手方向。

數學常以對稱的形式表現出來。其中對稱是數學美的重要組成部分，它普遍存在于初等數學與高等數學的各個分支。對稱性在數學研究中有重要作用，它是數學創造與發現的方法之一。對稱性在數學解題中也有廣泛的應用，在解題過程中，考慮對稱性的因素有時可提升解題的效果。

六、總結

中職學生因為數學雙基普遍比較薄弱，初中的基礎較差。那么，如何在數學教學中激發、調動學生的學習積極性就顯得很重要，它是數學教學的關鍵。在函數及幾何教學中，我們會讓學生小組合作，教師分層教學，師生做一些幾何模型，多媒體課件等，讓學生通過觀察其中的對稱性，從而想出解題的思路，找出解題的方法，有效提高學生運算能力，邏輯思維能力及空間想像能力。總之，中職學校數學教師應不斷更新數學教學理念，不斷提高教學水平，要從學生實際和教材的內容出發，運用合理的教學方法，調動他們學習數學的積極性，從而學好數學。endprint