初探初中數學開放性題目的編制

曾令山

【摘要】加強數學開放題教學，適當改變教材中的題目，使原來封閉題變為開放題，有助于充分發揮學生的主體性，使學生自覺地，主動地直接參與思維的全過程變“維持性學習”為“創新性學習”。教師要創造性地使用教材，注重一題多解，一題多變，多題一解得思維訓練，讓學生感受知識的新鮮感，創新思維得已發展。

【關鍵詞】開放題；題型；編制

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）16-0110-02

充分挖掘教材，編制開放性題目，隨著新深程改革的推進，中考改革也不斷深入，開放題的出現對數學教師提出了更高的要求。開放題的教學有利于培養學生的教學意識，有利于調動學生的學習主動性和積極性，發揮學生的主動和創造性，提高學生的創造能力，但是目前教材中的例題及習題大部分是封閉型的，這樣如何得到更多的開放題是教師在教學述程中碰到的一個實際問題，在教學中學會編制開放型題目顯得尤為重要，下面通過例子說明怎樣利用現有教材編制開放型數學題。

一、利用概念的內涵編制

由于某些數學概念具有豐富的內涵或等價表述，利用這些進行設問，可得開放題。如“全等三角形”有豐富的內涵定義，利用它們可編制條件開放題，當△ABC與△A`B`C`滿足________________________時，△ABC≌△A`B`C`（只需填上你認為正確的一種條件即可）。

二、利用原命題的逆命題編制

對一個命題當從正面考察完了之后，研究一下它的逆命題是否成立或在什么條件下成立，便可得到一些開放題。

例1、△ABC中，D是AC上一點，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°計算∠ABD和∠BDC度數，并說明圖中有哪些等腰三角形（人教版初中《幾何》第2冊第6頁例2）考慮它的逆命題可編制：已知△ABC是等腰三角形，過△ABC的一個頂點的一條直線，把△ABC分成兩個小三角形，也都是等腰三角形，問：△ABC的各角度數可能是多少度。

三、保留條件，開放結論

例2、已知Rt△ABC中，CD是斜邊上的高，求證：△ABC∽△CBD∽△ACD（人教版初中《幾何》第二冊第226頁例2）。

只保留原命題的條件，探索會得到哪些結論，使其多樣化，可編制開放題：已知Rt△ABC中CD是斜邊上的高，根據上述條件結合圖形，寫出你能得到的結論，并加以證明。

四、減弱條件，探索一般性結論

對一個命題，若減弱其一項或幾項條件之后，研究它有什么更一般的結論可得到一些開放題。

例3、已知⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1與⊙O2的公切線，BC為切點，求證AB⊥AC（人教版初中《幾何》第三冊第114頁例2）若減弱條件可得開放題：⊙O1和⊙O2相離（或相交）BC是⊙O1與⊙O2的公切線，B、C為切點，連心線O1O2分別交⊙O1、⊙O2于點MN，問BM、CN位置關系如何？

五、增強條件，開放結論

有已有條件的基礎上再增加條件，要求選擇部分或全部條件達到目的可得一些開放題。

例4、有濃度30%的酒精與濃度60%的酒精混合，制成50%的酒精30kg，前兩種酒精各階層使用了多少？（義教版初中《代數》第一冊（下）第34頁練習3）。

增補條件仍可編出：現有濃度30%的酒精20kg，60%的酒精25kg，足夠的純酒精和水，要制成50%的酒精30kg，請你設計配制方案。

六、條件變式，探求結論的存在性

將給定的題設條件作某些變化，考慮結論是否存在，可得一些開放題。

例5、已知一個二次函數的圖象經過（0，0）、（-1，-11），（1，9）三點，求這個二次函數的解析式（義教版初中《代數》第三冊第130頁練習2）。將題目中過（0，0）條件變為對稱軸為y軸，得到以下開放題：已知點A（-1，-11），B（1，9）兩點，試判斷是否存在對稱軸為y軸且經過A、B兩點的拋物線，若存在求此拋物線解答析式，若不存在，說明理由。

七、保留結論，尋求條件

隱去部分條件或提示語，要求尋找使結論成立的充分條件可得一些開放題。

例6、已知△ABC中，P是邊AB上的一點，連結CP（1）∠ACP滿足什么條件時，△ACP∽△ABC，（2）AC：CP滿足什么條件時，△ACP∽△ABC。（人教版初中《幾何》第二冊第233頁例5）。

隱去（1）、（2）中的提示語有：已知△ABC、P為AB上一點，連結CP，問圖中有無兩三角形相似，需增加什么條件？

八、加強結論，追加條件

對一個命題，對其結論進行加強，以研究得出這個結論需增加什么條件，可得到一些開放題。

例7、已知四邊形ABCD的對角線相交于點O，EF經過點O，與AB相交于E，與CD交于點F，G，H分別是AO，CO的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形（義教版初中《幾何》第二冊P91復習題四第六題）。

若對本題結論“平行四邊形”進行加強可得：已知四邊形ABCD的對角線相交于點O，EF經過點O與AB交于點E，與CD交于點F，GH分別是AO和CO的中點，問：還需追加什么條件，四邊形EFGH是菱形？是矩形？是正方形？

九、引入參數，尋求一般規律因子

例8、把X?-7X+6分解因式（義教版初中《代數》第二冊第34頁例2）引入參數可編制如下開放題：要使二次三項式（1）X?+mX+6（2）X?-7X+n在整數范圍內能夠進行因式分解，m，n可以取哪些值？

加強數學開放題教學。

開放題是數學開放式教學的載體，開放式試題呼喚開放式教學，作為數學教師，應該把開放式教學作為培養學生創新思想的重要內容，在數學教學中課本例題教學不僅要分析解決問題的思路，還應通過對問題多角度的深入審視，將原問題引申為能動促使學生主動、活潑的學習，并能激發數學創新思想的活動，恰到好處地適當改變課本某些題目，使原來封閉題變為開放題，有助于充分發揮學生的主體性，使學生自覺地，主動地直接參與思維的全過程變“維持性學習”為“創新性學習”。

數學是一門思維科學，它在訓練學生思維方面是其他學科無法替代的，創造性思維是數學中最可貴的，層次最高的思維品質，它是創造力的核心。開啟學生的創造潛能，培養學生的創造性思維，既是新世紀人才培養的要求，又是當前數學教學改革的主旋律。作為中學數學教師，在數學科學中，以開放題為載體，讓學生進行開發思維訓練，是當前數學課堂教學的著眼點，教師要創造性地使用教材，既注重一題多解，一題多變，多題一解得思維訓練，又要打破教材中所涉及的命題大都是給出條件和結論，讓學生去判斷，推理、證明這一常規模式，設計一些是具有不確定性非唯一結論的問題：條件不是很清晰，完備，需要（下轉186頁）（上接110頁）探尋和補充的問題：現實性強，容易調動探究熱情的問題，讓學生在對開放題的探索中，思維得到鍛煉創造思維得到發展。

參考文獻

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