《函數奇偶性》教學案例

課題：函數奇偶性

年級：高一

授課：崔曉麗老師

版本：人教版數學必修一1.3.2

一、背景介紹

本節課是在學生已經學習了函數的基本概念以及函數單調性的基礎上進行的，主要是對函數的奇偶性進行系統的研究。在培養學生對圖像觀察能力的基礎上，進而引導學生從數量關系的角度通過邏輯推理加以確認，是鍛煉學生掌握數形結合思想的很好機會，在中學數學過程中有很重要的地位。

1.設計理念

本節課學習函數奇偶性的概念以及判斷函數奇偶性的方法。教學中，教師引導學生質疑，探索，發現，從問題入手，證明猜想，得出結論。

2.教材分析

本節討論函數的奇偶性，教材沿用了處理函數單調性的方法，即先給出幾個特殊函數的圖象，讓學生通過圖象直觀獲得函數奇偶性的認識，然后利用表格探究數量變化特征，通過代數運算，驗證發現的數量特征對定義域中的“任意”值都成立，最后在這個基礎上建立了奇（偶）函數的概念。

對于奇函數，教材在給出的表格中留出大部分空格，旨在讓學生自己動手計算填寫數據，仿照偶函數概念建立的過程，獨立地去經歷發現、猜想與證明的全過程，從而建立奇函數的概念。

3.學情分析

因為已經學習了函數的單調性，而函數奇偶性的研究方法類同與函數單調性，所以大部分學習能夠接受并理解。但學生對前后知識的聯系、應用有一定的難度，而且學生分析問題，解決問題的能力比較弱，所以，備課時要多注意，老師及時給予幫助。

二、案例描述

（一）三維目標

1.知識與技能目標

從數與形兩個方面進行引導，使學生深刻理解函數奇偶性的概念；通過抽象函數奇偶性的應用，培養學生觀察、歸納、抽象思維的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力。

2.過程與方法

師生共同探討、研究。從代數角度嚴格推證并總結規律。

3.情感、態度與價值觀

通過繪制和展示函數圖像來陶冶學生情操，通過組織學生分組討論，培養學生主動交流的合作精神。

（二）教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義。

（三）教學難點：判斷函數的奇偶性的方法。

（四）課時安排：1課時

（五）教學過程

1.導入新課

（師）同學們，對稱會讓人覺得和諧，美觀。其實，對稱在我們身邊隨處可見。請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢？

（生）例如人的兩個耳朵，兩個鼻子都對稱，這種對稱美給人一種賞心悅目的感覺等。

（師）學生們的回答很好。這種對稱美，不僅在我們身邊，存在于實際生活當中，而且在我們數學中也有所體現。今天，我們就一起來學習數學中一種與對稱有關的知識：函數的另一個重要性質——函數的奇偶性。

2.實例引入，探究新知

（師）（提出問題）請同學們觀察下面兩個函數圖像，從對稱的角度分析，它們有什么共同特征？（啟發學生由圖像獲取函數圖像的對稱的直觀認識，便于引入新課）

（生）都是關于y軸對稱的。

（師）那么，相應的兩個函數值的對應表是如何體現這些特征的？請同學們填寫表1和表2，你發現這兩個函數的解析式具有什么共同特征？（指導學生從形到數進行分析）

表1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f（x）=x2

表2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f（x）=|x|

學生分組討論，共同總結得出：

①這兩個函數的解析式都滿足：f（-3）=f（3）；f（-2）=f（2）；f（-1）=f（1）。

②可以發現對于函數定義域內任意的兩個相反數，它們對應的函數值相等，也就是說對于函數定義域內一個x，都有f（-x）=f（x）。

（師）這時，我們就稱函數為偶函數。那么，對于一般的函數y=f（x），我們如何給出偶函數的定義。

3.給出偶函數概念

（板書偶函數的定義）一般地，對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函數。

4.偶函數圖像的性質（提高學生觀察能力和歸納概括能力）

（師）偶函數的圖象有什么特征？

（學生分組討論并總結，教師提示補充）偶函數的圖像有以下兩個特征：①圖象關于y軸對稱.②在關于y軸對稱的兩個區間上單調性相反。

5.奇函數的概念

（師）觀察函數f（x）=x和f（x）=的圖象，類比偶函數的推導過程，給出奇函數的定義和性質？

（生）判斷它們的圖象的共同特征是關于原點對稱的。

（再列表格觀察自變量互為相反數時，函數值的變化情況，進而抽象出奇函數的概念。）

奇函數的概念：一般地，對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）就叫做奇函數.奇函數的圖象關于原點中心對稱。

6.奇函數的性質

師生共同總結得出以下性質：

（1）奇函數的圖象關于原點對稱。

（2）關于原點對稱的兩個區間上單調性相同。

（3）f（-x）=-f（x）等價于f（-x）+f（x）=0

（4）x=0處有定義時，必有f（0）=0.

7.函數奇偶性對定義域有什么要求嗎？

判斷一個函數是奇函數還是偶函數的一個必不可少的條件是“定義域關于原點對稱”。如果一個函數的定義域不關于原點對稱，那么這個函數既不是奇函數也不是偶函數。

（教師指明）函數的奇偶性是函數在定義域上的性質是“整體”性質，而函數的單調性是函數在定義域的子集上的性質是“局部”性質。

8.例題講解，掌握做題步驟.

詳見教材P35例題詳解。

9.總結判斷或證明函數奇偶性的一般步驟：

（1）首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

（2）確定f（-x）與f（x）的關系；

（3）作出相應結論：

若f（-x）=f（x）或f（-x）-f（x）=0，則f（x）是偶函數；

若f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，則f（x）是奇函數.

（教師強調）需要注意的是：并不是所有的函數都具有奇偶性，如函數y=x與y=2x-1既不是奇函數也不是偶函數，可以通過圖象看出也可以用定義去說明.

（六）歸納小結

（1）函數奇偶性的定義是什么？其圖像有什么樣的特征？

（2）判斷函數奇偶性的前提條件是什么？

（3）判斷函數奇偶性的一般步驟是什么？

（七）作業布置

（1）閱讀教材P.33-P.36。

（2）教材習題1.3A組。

備選練習：定義在區間（-1，1）上的奇函數f（x）是定義域上的減函數，并且滿足，求m的取值范圍。

三、案例反思

本節課，師生共同探究，交流，學生親生經歷了提出問題，解決問題的過程。大部分學生都可以掌握。但需注意知識之間的聯系，及時構建知識網絡。提高學生解決問題的能力。