以“數(shù)形結(jié)合”為例淺析如何利用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題

唐恬悅

【摘要】在解答數(shù)學(xué)問題中，數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用尤為重要，只有運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)思想，才能更高效地解答數(shù)學(xué)問題。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)感到束手無策，而有的學(xué)生則為數(shù)學(xué)迷，為數(shù)學(xué)狂，究其這兩種截然不同現(xiàn)象的原因，主要還是學(xué)生是否能夠靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題。以數(shù)形結(jié)合為例，其在解答數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，可以將抽象的數(shù)字符號(hào)以具體的圖像表現(xiàn)出來，提升解題得準(zhǔn)確性和效率。基于此，本文主要介紹了數(shù)形結(jié)合思想的基本內(nèi)涵、基本方法，并在此基礎(chǔ)上詳細(xì)闡述了數(shù)形結(jié)合在具體的數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用，如對(duì)函數(shù)方程組問題、速度與路程問題、二次函數(shù)問題以及其他問題等的解決，以供參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)問題

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）17-0163-02

著名的數(shù)學(xué)家高斯曾說過：“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙”；德國物理學(xué)家倫琴指出：“第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三是數(shù)學(xué)。”；由此不難看出，數(shù)學(xué)是一切其他學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)，在經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展中起到重要的作用。因此，學(xué)好數(shù)學(xué)并應(yīng)用好數(shù)學(xué)是一個(gè)國家強(qiáng)大的重要體現(xiàn)。當(dāng)前，一些學(xué)生“談數(shù)學(xué)色變”，而另一些學(xué)生則深深地為數(shù)學(xué)著迷，這與學(xué)生能否學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法不無關(guān)系。我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚就曾說過：“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要。”，因此，掌握數(shù)學(xué)思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的前提。此外，數(shù)字和圖形是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上至為重要的兩個(gè)研究對(duì)象，兩者在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的。作為一種數(shù)學(xué)方思想，數(shù)形結(jié)合思想是討論數(shù)字與圖形之間相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系，通過兩者之間相互的轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)字語言用更為直觀的圖像來表示，或是用圖像來表示與之有關(guān)的數(shù)字運(yùn)算關(guān)系。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想中最為基本，也是最重要的思想。對(duì)于學(xué)生來說，個(gè)人的空間想象力決定了其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的深度，巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，將會(huì)使數(shù)學(xué)問題的解決更為方便簡(jiǎn)單。

一、數(shù)形結(jié)合思想的簡(jiǎn)介

（一）基本內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合是指在解決數(shù)學(xué)問題中將抽象的數(shù)字與更為直觀的圖像相結(jié)合，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題更為形象生動(dòng)，提高解決問題的速度和效率。

數(shù)形結(jié)合思想一般主要應(yīng)用于研究函數(shù)與圖像、曲線與方程以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸等之間的關(guān)系中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想不僅能夠找到更為簡(jiǎn)單的解題方法，避免了復(fù)雜的計(jì)算過程，而且在解答選擇題，填空題的時(shí)候更具有優(yōu)勢(shì)。

在實(shí)際運(yùn)用中，數(shù)形結(jié)合可以為學(xué)生學(xué)習(xí)提供很好的幫助，也為老師教學(xué)提出了新的方向，教師在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)行結(jié)合的方法，可以增加課堂的趣味，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

（二）數(shù)形結(jié)合思想的基本方法

1.由數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形

“數(shù)”和“形”兩者是相互對(duì)應(yīng)的，一些數(shù)字運(yùn)算過于抽象，無法準(zhǔn)確把握，而“形”相對(duì)來說則更加直觀，能夠表現(xiàn)的內(nèi)容更多，更有利于解決問題。因此，當(dāng)我們無法用數(shù)量運(yùn)算來解決問題時(shí)，可以考慮通過相對(duì)應(yīng)的圖形來解決。我們可以根據(jù)題目所給定的條件，通過一系列的轉(zhuǎn)化，將題目的數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖像問題，并通過對(duì)圖像的分析，來最終解決數(shù)量問題，這一方法就是所謂的圖形分析法。將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖像問題一般需要運(yùn)用立體幾何、平面幾何、解析幾何三個(gè)方面的知識(shí)。面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，首先要按照什么是已知條件，什么是要求解的未知條件進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，通過兩者之間的比較，找出其中的內(nèi)在關(guān)系。因此，該方法解決問題的基本思路是，確定好題目所給的條件和所要解答的目標(biāo)，將題目中的已知條件轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖像表達(dá)式，再畫出相應(yīng)的圖像，根據(jù)圖像性質(zhì)來解決最終的問題。

2.由圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字

雖然圖像的表達(dá)方式更為直觀生動(dòng)，但是對(duì)于表現(xiàn)方式比較復(fù)雜的圖形來說，在量的方面仍然需要借助代數(shù)的計(jì)算來處理，將圖形做數(shù)字化處理，并且要仔細(xì)觀察圖形中的特點(diǎn)，以及其中的隱含條件，充分運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)，將圖形正確地表示成數(shù)字之間的運(yùn)算，這類題目的解題思路主要為：根據(jù)題目中所給的已知條件和未知條件，理解兩者在幾何圖形中的重要意義，根據(jù)所學(xué)知識(shí)將圖像的表達(dá)式寫出來，進(jìn)行運(yùn)算。

3.數(shù)字與圖形互相轉(zhuǎn)化

這一方法是指在一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中，僅僅是從數(shù)字變?yōu)閳D形或從圖形變?yōu)閿?shù)字的運(yùn)算方法不能夠完全解答數(shù)學(xué)問題，需要將兩個(gè)解題思路來回運(yùn)用，才能最終找到答案。解決這類問題需要反復(fù)地從已知條件和結(jié)論同時(shí)出發(fā)，分析出內(nèi)在的形數(shù)互變關(guān)系，最終得出答案。

二、如何利用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題——以“數(shù)形結(jié)合”為例

（一）數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)方程組問題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想在函數(shù)問題的應(yīng)用方面相當(dāng)廣泛，在求解函數(shù)單調(diào)性、極值、定義域、值域等方面都可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想。在解答此類問題時(shí)，一定要注意不要脫離函數(shù)圖像想問題，否則容易出現(xiàn)解題失誤速度慢等現(xiàn)象。在做函數(shù)問題時(shí)，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合加以思考，那么問題的求解將更加準(zhǔn)確、迅速。

比如在解答“X+Y=1，X-2Y=0”這一方程組時(shí)，這個(gè)方程組可以運(yùn)用傳統(tǒng)的數(shù)理運(yùn)算進(jìn)行求解，但這一方法容易出現(xiàn)計(jì)算失誤，尤其是對(duì)于較為復(fù)雜的方程式來說。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法時(shí)，我們可以將這個(gè)方程組的解看成為平面坐標(biāo)系中兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)。我們將兩個(gè)函數(shù)方程的函數(shù)圖像平面坐標(biāo)系中表現(xiàn)出來（如圖1），兩條函數(shù)直線的交點(diǎn)D點(diǎn)的坐標(biāo)即為這個(gè)方程組的解。運(yùn)用這種方法，求解過程將更為直觀，在應(yīng)對(duì)復(fù)雜的方程組時(shí)效果更為明顯。即使通過傳統(tǒng)的數(shù)理運(yùn)算將結(jié)果算出來之后，也可以再通過數(shù)形結(jié)合的思想，運(yùn)用函數(shù)圖像來進(jìn)一步驗(yàn)證答案是否正確。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在解決速度與路程問題中的應(yīng)用

在解答速度與路程方面問題的過程中，數(shù)形結(jié)合的思想尤為明顯。與其他數(shù)學(xué)問題不同的是，這類問題中，題干中的人或車等主角是一個(gè)動(dòng)態(tài)的點(diǎn)，如果我們?nèi)匀挥脗鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)方法去尋找解題思路，只會(huì)偏離正確的結(jié)論越來越遠(yuǎn)。此外，如果僅僅是靠大腦來“苦想”，對(duì)做題者的思維靈活性要求很高。且在更為復(fù)雜的追及問題中，通過大腦空想來解決不同的點(diǎn)在起點(diǎn)和終點(diǎn)來回運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜過程中的問題基本是不可能的。如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，就可以將題干中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑表現(xiàn)出來，再加以運(yùn)算就可以得出結(jié)果，相比于僅靠大腦的空想更為直觀，不易出錯(cuò)，更可以節(jié)省解題的時(shí)間，繼而提升解題效率。

比如在“小明家離學(xué)校1500米，小紅家離學(xué)校1800米，小明騎車去學(xué)校速度800m/min，小紅走路去學(xué)校200m/min，小明先到學(xué)校再去接小紅，問小紅到學(xué)校需要多長(zhǎng)時(shí)間”這個(gè)問題，有小明和小紅兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且小明這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡比小紅復(fù)雜，如果僅靠大腦來想象，容易出現(xiàn)思維混亂。在數(shù)形結(jié)合的思想方法中，可以用一條線段上的三個(gè)點(diǎn)分別表示學(xué)校小明家小紅家，根據(jù)題目中給出的條件標(biāo)出，三個(gè)點(diǎn)之間的距離（如圖2），那么從圖像可以看出，當(dāng)小明回到學(xué)校再回去接小紅時(shí)，兩者一共行駛了9300米，相遇的時(shí)間t1=9300÷1000=9.3（min），此時(shí)小紅與小明距離學(xué)校的距離為：4800-9.3×200=2940（m），此時(shí)乘自行車所需要的時(shí)間t2=2940÷800=3.675（min），因此，小紅到達(dá)學(xué)校所需要的時(shí)間為12.975min。結(jié)合圖像，該類型問題的解題思路變得更為清晰，最大限度地避免出現(xiàn)錯(cuò)亂。

（三）數(shù)形結(jié)合思想在解決二次函數(shù)問題中的應(yīng)用

二次函數(shù)是初中和高中階段均要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)課程，不少學(xué)生在初遇二次函數(shù)的時(shí)候，往往摸不著邊際，比如在求解函數(shù)的最大值與最小值時(shí)，往往沒有考慮到定義域，繼而算錯(cuò)了答案。此外，一些學(xué)生在二次函數(shù)的單調(diào)性上認(rèn)識(shí)不足，往往通過死記硬背的方法來解答相關(guān)題目，結(jié)果可想而知。而利用數(shù)形結(jié)合思想，將二次函數(shù)的圖像在平面坐標(biāo)系中畫出來，那么很多問題以及該函數(shù)的特點(diǎn)都變的異常“清晰”。

比如，在求“f（x2）單調(diào)性”這一問題中，如果僅僅用傳統(tǒng)的數(shù)理運(yùn)算數(shù)學(xué)方法來思考，可能會(huì)感到無從下手，因?yàn)椴恢繶該如何取值，那么我們可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決這類問題。如圖3，y=ax2（a>0），通過圖像我們可以知道，這個(gè)函數(shù)是一個(gè)以y軸為對(duì)稱軸、開口向上，經(jīng)過圓點(diǎn)（0，0）的拋物線圖像，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)圖像呈遞減特性，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)圖像呈遞增特性。通過畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，我們找到了這一類型問題的解題方向，再加以運(yùn)算即可寫出整個(gè)解答過程。

（四）數(shù)形結(jié)合思想在解決其他數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

除了上述三個(gè)方面，數(shù)形結(jié)合在解決集合問題、三角函數(shù)問題、線性規(guī)劃問題、分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題、數(shù)列問題等方面仍有很大的應(yīng)用空間。在集合方面主要會(huì)借助直線數(shù)軸和Venn圖來解決集合之間交集與并集的運(yùn)算，如圖4所示，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么兩個(gè)集合的交集即為兩個(gè)區(qū)域的重疊，C={3，4}；同樣地，數(shù)形結(jié)合也是解決三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的重要數(shù)學(xué)方法，如圖5，該圖像為余弦函數(shù)的圖像，從該圖像中，我們很容易發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)在定義域X∈R內(nèi)的最大值為1，最小值-1；在[-π+2kπ，2kπ]上呈單調(diào)遞增特性，在[2kπ，π+2kπ]上呈單調(diào)遞減特性，當(dāng)然余弦函數(shù)的特性遠(yuǎn)不止這些，但通過數(shù)形結(jié)合的思想，我們?cè)诮鉀Q三角函數(shù)這種復(fù)雜函數(shù)的問題上就變得“游刃有余”；此外，數(shù)性結(jié)合思想在方程與不等式、數(shù)列以及幾何等問題解決方面均有應(yīng)用，這對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)問題的解決有著重要的作用，同樣也給數(shù)學(xué)研究提供了重要的理論工具。

三、結(jié)語

華羅庚先生還說過“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”，由此可見數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和問題研究的重要性。總之，以數(shù)形結(jié)合為代表的數(shù)學(xué)思想可以將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，將抽象的問題具體化。因此，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，需要注意運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想，而不是一味死板的生搬硬套，才能更好的解答數(shù)學(xué)問題。筆者相信，只有更好地理解和掌握數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)才不會(huì)成為廣大學(xué)子通往知識(shí)寶塔上的“攔路虎”。同樣地，只有不斷地研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究才會(huì)不斷地出現(xiàn)新的成果，為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展提供重要的理論依據(jù)。

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