解決三角恒等變形問題六種法則

江西 陳國林

解決三角恒等變形問題六種法則

江西 陳國林

三角恒等變換是高考考試中每年必考的內容，不僅在考題中有小題出現，也會結合大題進行考查，大部分題目以中檔題為主，本文主要提出了六種方法去處理三角恒等變形問題供大家參考.

一、利用角變換妙解三角恒等變形問題

( )

故選D.

【評注】三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數名(切割化弦)、次數(降與升)、系數(常值“1”)和運算結構(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

二、妙用配湊角解三角恒等變形問題

三、根據函數名的差異妙轉化解三角恒等變形問題

【解析】解法1:原式=sin50°(1+tan60°tan10°)

=1.

【評注】名的變化：利用同角三角函數的基本關系，將不同名的三角函數化成同名的三角函數，以便于解題.經常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.基本思路有：(1)化非特殊角為特殊角；(2)化為正負相消的項，消去后求值；(3)化分子、分母使之出現公約數，進行約分求值.

所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,

得sin(C-A)=sin(B-C)，

所以C-A=B-C,或C-A=π-(B-C)(不成立).

四、利用常值變換妙求三角恒等變形問題

五、活用整體換元法妙求三角恒等變形問題

六、構造對偶式法妙解三角恒等變形問題

【例6】求cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80°的值.

【解析】設x=cos20°cos40°cos80°，y=sin20°sin40°sin80°，

xy=cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80°

【評注】在求值，化簡的三角問題時，靈活運用構造對偶式的對偶的數學思想，合理地構造形如xy的對偶函數，進行和、差、積等運算，則問題可得到解決.

【變式6】求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.

【解析】設x=sin210°+cos240°+sin10°cos40°，

y=cos210°+sin240°+cos10°sin40°,

x+y=sin210°+cos240°+sin10°cos40°+cos210°+sin240°+cos10°sin40°

=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°

=2+cos40°,

因為-cos20°+cos40°+cos80°

=-cos20°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)

=-cos20°+cos60°cos20°+sin60°sin20°+cos60°cos20°-sin60°sin20°

=2cos60°cos20°-cos20°

=cos20°-cos20°

=0.

江西省贛南師范大學科技學院)