三角形問題中避免增解的常用策略

江蘇 王安寓 范賢麗

三角形問題中避免增解的常用策略

江蘇 王安寓 范賢麗

計算是數學學習中的一種重要技能．數學運算是新課標六大數學核心素養之一．數學運算不僅是數學發展的重要起源，更是數學后續發展思想方法的源泉．數學運算貫穿數學的基本脈絡，幾乎滲透到數學的每一個角落．三角形問題中離不開計算，但有些三角形問題的計算往往會出現增解，如何避開增解呢？首先，要弄清楚產生增解的原因，然后根據產生增解的原因尋找對應的解決策略．造成解三角形問題的增解的原因，主要有運用同角三角函數的平方關系開方、由正弦值求角的運算、鈍角或銳角的充要條件等等．根據增解原因，思考對應的解決策略：少用開方、少用正弦、縮小角的范圍、找準鈍角或銳角的充要條件等等．

策略一：能用倍角，符號內蘊，不用開方

(Ⅰ)求sinB；

點評：當出現平方關系需要開方時，一定要小心，要判斷清楚符號，才能實施開方運算．當題設中存在倍數關系時，要優先選擇倍數關系，避開出現開方造成增解．

策略二：能用余弦，或者正切，不用正弦

分析：由條件易求sinA, sinB，再由和角公式求C的某一三角函數值．

由于是限制在三角形中，角的范圍往往是(0,π)，因此，要多求余弦或正切，而少用正弦．

錯解：設P(x,y)在第一象限，

即a4-16a2+48=0，解得a2=4或12，

正解：設P是第一象限的點，設|PE|=m,|PF|=n，則m-n=2a，則余弦定理有

4c2=m2+n2-mn=(m-n)2+mn，∴mn=4b2，

策略三：鈍角銳角，充要條件，避開增解

【例4】鈍角三角形ABC中，a=1，b=2，則最大邊c的范圍是________．

分析：最大邊所對的角一定為鈍角．由cosClt;0求得c的范圍．

錯因分析：顯然c不能取很大的值．實際上，c=5gt;a+b，構不成三角形．

在三角形中，一般用余弦定理就能避開增解，為什么本題出現了增解？請先思考：cosClt;0C為鈍角嗎？也就是說，cosClt;0是C為鈍角的必要不充分條件．cosClt;0中還包含cosC=-1！C為鈍角lt;Clt;π-1lt;cosClt;0．因此，在附加條件“三角形”下，C為鈍角的充要條件是-1lt;cosClt;0．

正解：∵c是最大邊，△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角，∴-1lt;cosClt;0，

點評：在△ABC中，角A為鈍角-1lt;cosAlt;0；角A為銳角0lt;cosAlt;1．

銳角三角形ABC

筆者不禁回想起向量夾角為鈍角的問題．能借鑒嗎？

題目(必修4P85練習5改編)設向量a=(x,4)，b=(-2,-1)，向量a與b的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍是________．

解析：a與b的夾角為鈍角a·blt;0且a與b不共線-2x-4lt;0且-x≠-2×4xgt;-2且x≠8．

在處理向量夾角為鈍角時，采用剔除法：在a·blt;0中剔除a與b共線，相當于排除a與b的夾角為π(當然也包含0)的情形．這種解法能借鑒到三角形中鈍角問題．

如，例4也可以采用向量的解法．

這種解法是最本質的解法．

這啟發我們，解三角形問題，完全可以用解析法．

策略四:用已知角，表示待角，避開增解

分析：由題意求角A，用余弦定理求邊c．

∴a2=7=32+c2-3c，解得c=1或2．

點評：由正弦定理求邊所構建的方程是一次式，其解也唯一．因此，不會出現增解．與策略一比較，應能體會求邊與求角的不同處理方式．本題中，“銳角三角形ABC”是指A,B,C都是銳角，不能只看一個角或兩個角．本題求邊c，也可以用射影定理求解．c=acosB+bcosA=2．

策略五:比較函值，確定角圍，避開增解

分析：求出sinB,cosC，運用誘導公式和兩角和的正弦公式求解．

點評：比較正弦值，結合正弦定理，得到邊的關系，再根據大角對大邊、大邊對大角的結論，確定角的范圍，是求解某些三角形問題的常用方式．挖掘隱含條件，縮小角的范圍，是求解三角形問題必須考慮的．

策略六:二次方程，多解檢驗，避開增解

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)若a2=2b2+c2，求tanA的值．

分析：(Ⅰ)根據向量共線得到關于cosC的方程，解方程并注意范圍；(Ⅱ)由邊的關系聯想正弦定理，降次、萬能公式或化切，解方程即可．

(Ⅱ)∵a2=2b2+c2,

正解1：由余弦定理得c2=a2+b2-ab，

∴a2=2b2+c2=2b2+a2+b2-ab，∴ab=3b2，

∴a=3b，

正解2：仿上得a=3b，

江蘇省南京市六合區實驗高級中學)