解題探究活動不能僅僅留下一個結論
——談分段求和破解含絕對值項的數列求和方法

江蘇 王懷學

解題探究活動不能僅僅留下一個結論
——談分段求和破解含絕對值項的數列求和方法

江蘇 王懷學

一、分組分段求和是解決問題的本質策略

含有絕對值的問題中，首要任務就是分類討論.對于一個數列{an}，如果有些項是正數，有些項是負數，在求數列{|an|}的前n項和的時候，就需要把正數項和負數項分組求解.這是此類問題求解首先要明確的一個問題.

【例1】在等差數列{an}中，a1gt;0,a10·a11lt;0，若此數列的前10項和S10=36，前18項的和為S18=12，則數列{|an|}的前18項的和T18=________.

【解析】由已知得公差dlt;0，a10gt;0,a11lt;0，所以等差數列{an}單調遞減.

所以T18=S10+|a11|+|a12|+…+|a18|

=S10-(a11+a12+…+a18)

=S10-(S18-S10)

=2S10-S18

=72-12=60.

【變式1】在數列{an}中，已知an=n+11，n∈N*，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】當n∈N*時，an=n+11gt;0成立，

則數列{an}可以看成首項為12，公差為1 的等差數列.

二、前k項為正數的分段討論

求數列{|an|}的前n項和，就是要搞清楚數列{an}的項的正負，再分組分段求和，而數列{an}的項的正負決定著分組討論的不同情形，因此我們要對數列{an}的項的正負展開討論.

【例2】在公差為d的等差數列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列.

(Ⅰ)求d,an;

(Ⅱ)若dlt;0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】(Ⅰ)依題意得(2a2+2)2=5a1a3，4(a1+d+1)2=50(a1+2d)，(11+d)2=25(5+d)，解得d=4或d=-1，于是an=4n+6或an=11-n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當dlt;0時,an=11-n,

①當1≤n≤11時,an≥0，

②當n≥12時,anlt;0，

【點評】當數列的項有正負之分，就需要先判斷正負再求和.當前k項為正，后n-k(ngt;k,n,k∈N*)項為負時，可得Tn=|a1|+|a2|+…|ak|+|ak+1|+…+|an|=(a1+a2+…+ak)-(ak+1+ak+2+…+an)=Sk-(Sn-Sk)=2Sk-Sn.

【變式2】已知數列{an}的前n項和為Sn=32n-n2，求數列{|an|}的前n項和Tn.

【解析】因為Sn=32n-n2，所以當n≥2時，Sn-1=32(n-1)-(n-1)2,

作差得，an=33-2n，a1=S1=31也滿足上式.

所以，數列{an}的通項公式為an=33-2n，所以數列{an}單調遞減.

即當n≤16時，angt;0；當n≥17時，anlt;0.

所以當n≤16時，數列{|an|}的前n項和Tn=Sn=32n-n2；

又S16=256，所以當n≥17時，Tn=2S16-Sn=n2-32n+512.

三、前k項為負數的分段討論

數列的前k項的正負，其實從本質上同求和沒有什么區別，都是要進行分段求解，前k項都是正的，那么就把前k項單獨拿出來，并直接表示為Sk，余下的提取負號，還是可以用Sn-Sk表示；同理前k項都是負數，方法也是同樣，不需要背記公式.

【例3】數列{an}的前n項和Sn=n2-100n.

(Ⅰ) 數列{an}是什么數列?

(Ⅱ)設bn=|an|,求數列{bn}的前n項和Tn.

【解析】(Ⅰ)因為Sn=n2-100n，所以

an=Sn-Sn-1=n2-100n-(n-1)2+100(n-1)=2n-101(n≥2)，

當n=1時，滿足條件，所以an=2n-101，

所以數列{an}是首項為-99，公差為2的等差數列.

(Ⅱ)因為bn=|an|=|2n-101|，

所以當n≤50時，Tn=-Sn=-n2+100n；

當n≥51時，

Tn=T50+a51+a52+…+an

=-S50+a51+a52+…+an

=-S50+Sn-S50

=Sn-2S50

=n2-100n+5 000，

【點評】前k項為負，后n-k(ngt;k,n,k∈N*)項為正的數列求和，首先按絕對值的代數意義去絕對值符號，可得

Tn=|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+…+|an|

=-(a1+a2+…+ak)+(ak+1+ak+2+…+an)

=-Sk+(Sn-Sk)=Sn-2Sk.

【變式3】在數列{an}中，已知an=2n-25，n∈N*，求 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】設數列{an}的前n項和為Sn，數列{|an|}前n項和為Tn.

所以，對數列{|an|}來說，

當n≥13時，Tn=|a1|+|a2|+…+|a12|+|a13|+…+|an|=-(a1+a2+…+a12)+(a13+a14+…+an)=-2(a1+a2+…+a12)+(a1+a2+…+an)=Sn-2S12=n2-24n+288.

江蘇省贛榆縣海頭高級中學)