多角度欣賞一道高考模擬題

甘肅 李守明

多角度欣賞一道高考模擬題

甘肅 李守明

在高考復習中，不可避免地要進行多次檢測考試，怎樣才能發揮每次檢測試題的導向作用，助力學生走出“題海戰術”，提高解題能力，這就需要我們從不同的角度剖析和欣賞數學試題，發現解題規律，找出應對策略，探尋試題根源，靈活適當變式.現以蘭州市2017年3月高考診斷考試理科第20題第(2)問為例，從問題的思路及解法，溯本求源、同源變式等角度來欣賞它，僅供讀者借鑒．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

1 問題的思路與解法

對于問題(Ⅱ)的思路與解法，筆者從以下四個方面闡述:

設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

即x1=x-2x2，y1=y-2y2，

所以x2+2y2-4(xx2+2yy2)+12=0，

即x2+2y2-4[(x1+2x2)x2+2(y1+2y2)y2]+12=0，

設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，

所以由橢圓的定義可知存在點F1，F2，

設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

又設直線OM的方程為y=kx(k≠0)，

所以x2+2y2=20，后續解法同解法1.

設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

=20+4(x1x2+2y1y2)，

設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，

因此x1x2+2y1y2=0，

所以x2+2y2=20，后續解法同解法1.

即sinαsinβ=-cosαcosβ，

所以x2+2y2=20，后續解法同解法1.

2 溯本求源

源頭1：“我們把平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點”.這是人教版必修2-1對橢圓的定義，本檢測試題表面上是判斷F1，F2是否存在的問題，實際上是判斷點P的軌跡方程是否為橢圓方程的意思.隱蔽的考查了橢圓的定義，也是該題的一個特點.

(Ⅰ)求該橢圓的方程；

顯然，對重慶2011年高考理科試題20題的條件經過簡單的改編，就得到了本次蘭州市診斷考試的解析幾何試題.在高三復習中，教師如能夠引導學生抓住試題的特征、把握問題的本質，那么不管問題如何變化，學生都可以找到辦法，所謂變中有變，抓住不變就是這個道理，從而達到“講一題，通一類，得一法”的教學效果.

3 同源變式

在本文題目下的思路與解法3中，形式上如同把點P的坐標代入橢圓方程，最終得到了與x1x2+2y1y2有關的表達式，故只需使x1x2+2y1y2=0，則可以得到點P的軌跡方程，這是本文題目的一個重要特征，受這種特征和解法的啟示，從而有了下面的變式：

變式2：改變曲線類型.

解：設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2),

=20+4(x1x2-2y1y2)，

設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，

因此x1x2-2y1y2=0，所以x2-2y2=20，

所以由雙曲線的定義可知存在點F1，F2，

蘭州新區舟曲中學)