特殊位置助解定點(diǎn)定角定值

甘肅 魏正清

特殊位置助解定點(diǎn)定角定值

甘肅 魏正清

解析幾何中的定點(diǎn)、定角、定值問題，是高考考查的核心題型之一，是多年高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn).這類問題常常以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解,解法一般來說都比較單一，雖然有通法可循，但運(yùn)算量大且過程很繁瑣，如何化繁為簡，減少運(yùn)算量，有效突破這一人人都頗感棘手的問題，是值得研究的課題，也是追求數(shù)學(xué)簡潔美的根本要求.本文另辟蹊徑，從特殊情形入手，先猜后證，給出處理解析幾何中定點(diǎn)、定角、定值問題的簡化策略.

1.定點(diǎn)問題

分析：如圖，探索以AB為直徑的圓是否恒過平面內(nèi)一定點(diǎn)，通常都是先求出以AB為直徑的圓方程，再利用圓系的有關(guān)知識尋求定點(diǎn)，難度過大，不易上手.如果尋求特殊的圓，先猜后證，就能化繁為簡，將問題迎刃而解.

解：假設(shè)存在定點(diǎn)T(x0,y0)滿足題意，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m的方程為x=0，易知A(0,1),B(0,-1)且以AB為直徑的圓C1的方程是x2+y2=1；

將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立可得交點(diǎn)T(0,1).

以下只需驗(yàn)證當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，也符合題意.

即當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，以AB為直徑的圓也過定點(diǎn)T(0,1).

綜上所述，存在定點(diǎn)T(0,1)滿足題意.

【評注】證明某動曲線過平面內(nèi)一定點(diǎn)，若從特殊情形入手，尋求符合題意的兩條曲線，求出這兩條曲線的交點(diǎn)，進(jìn)而猜得定點(diǎn)，再加以驗(yàn)證就可將問題圓滿解決.

2．定角問題

【例2】若點(diǎn)E在拋物線C：y2=2x上，且縱坐標(biāo)為2，經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E)，直線EA,EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M,N，O為原點(diǎn)，求證：∠MON為定值.

分析：如圖，證明∠MON為定值，通常是驗(yàn)證 tan∠MON的值為定值，這就需要將tan∠MON的求解轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題解決，這樣處理既要尋求∠MON與某兩條直線的傾斜角的關(guān)系，還要利用兩角和與差的正切公式，問題方能得以解決，過程繁且不說，運(yùn)算量還很大.如果取特殊點(diǎn)，先猜出∠MON的值，再進(jìn)行驗(yàn)證，則有意想不到的收獲.

解：易知點(diǎn)E(2,2)，設(shè)直線l：y=k(x-2).

由直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，

直線EB方程為y-2=2(x-2)，令x=-2得N(-2,-6).

【評注】證明一個(gè)角為定角，如果從特殊情形入手，求出符合條件的角的大小，再加以驗(yàn)證，則可有效簡化過程，巧妙解決問題.

3．定值問題

分析：探索正數(shù)λ，負(fù)數(shù)m，使得∠QC2M=λ∠QMC2成立，按照正常思維實(shí)在是無從著手的，但若從極端情形入手，先猜出正數(shù)λ與負(fù)數(shù)m的值，再進(jìn)行驗(yàn)證，定會柳暗花明.

解：如圖設(shè)Q(x0,y0)(x0≥1,y0gt;0)，

以下證明，當(dāng)λ=2,m=-1時(shí)，恒有∠QC2M=2∠QMC2.

故存在λ=2,m=-1，使得∠QC2M=2∠QMC2.

【評注】探索某代數(shù)式的值為定值，若能另辟蹊徑，從特殊情形入手，先猜后證，定是別有洞天.

甘肅省臨澤一中)