巧借曲線切線，妙解五類問題

廣東 劉光明

巧借曲線切線，妙解五類問題

廣東 劉光明

曲線切線問題不僅僅是導數的幾何意義那么簡單，仔細琢磨推敲，曲線的切線可以從導數的幾何意義、恰到好處證明不等式、求參數范圍、含參函數的零點問題、曲線上點到直線的最短距離等角度進行考查，本文就此以例題分別展開闡述，期望從中以窺曲線切線的分析策略.

一、直接利用導數的幾何意義

【例題1】已知函數f(x)=2x3-3x，若過點P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切，求實數t的取值范圍.

【評注】與曲線的切線有關的問題，主要從三個方面著手，一是曲線的切點，借助導數的幾何意義求出切線斜率；二是切點在曲線上；三是切點在切線上.無論含參與否，都緊抓以上三個方面聯立方程或者轉化為熟悉的知識點處理即可.

二、巧借曲線的切線化曲為直，化解計算尷尬，證明不等式

【例題2】已知函數f(x)=aex+(2-e)x(a為實數，e為自然對數的底數)，曲線y=f(x)在x=0處的切線與直線(3-e)x-y+10=0平行.

(Ⅰ)求實數a的值，并判斷函數f(x)在區間[0,+∞)上的零點個數；

(Ⅱ)證明：當xgt;0時，f(x)-1gt;xln(x+1).

【簡解】(Ⅰ)a=1，函數f(x)在區間[0,+∞)上沒有零點(過程詳解略).

(Ⅱ)證明：不妨先證明當xgt;0時，f(x)-1≥x·x成立.

設g(x)=ex+(2-e)x-1-x2(xgt;0)，則g′(x)=ex-2x+2-e，設φ(x)=ex-2x+2-e，

所以?x0∈(0,1)，使得φ(x0)=0，故x∈(0,x0)∪(1,+∞)時，φ(x)gt;0，即g′(x)gt;0，x∈(x0,1)時，g′(x)lt;0,因此，函數g(x)在區間(x0,1)上單調遞減，在區間(0,x0)和(1,+∞)上單調遞增，且g(0)=g(1)=0,所以g(x)≥0(xgt;0)，當且僅當x=1時等號成立，可得f(x)-1≥x·xgt;xln(x+1)，故f(x)-1gt;xln(x+1).

【變式練習題1】(2015·山東卷理·21題節選改編)設函數f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，當alt;0時，?x0∈(0,+∞)使得f(x0)lt;0.

【評注】構造函數證明不等式中，若多次求導后均未能實現單調性或最值的求解，那么需要考慮放縮.中學階段的曲線切線，加上函數的凹凸性，恰好是一種極好的放縮.人教A版教材選修2-2第32頁習題1.3B組第1題中的不等式exgt;xgt;lnx提供了一個不錯的放縮思路.故平時多積累一些放縮的例子，為以后的不等式證明提供快捷思路.

三、巧借過定點切線，指引討論參數的方向

【例題3】已知函數f(x)=x+xlnx，若k∈Z，且k(x-1)lt;f(x)對任意xgt;1恒成立，求k的最大值.

【評注】通過曲線的切線去探求參數的范圍，主要還是利用導數求單調性、極值、邊界變化情況(變化趨勢)，考慮函數的凹凸性，然后描繪曲線的大致圖象，數形結合，進而得到參數范圍.不過，借切線為邊界，只是探求參數的范圍，解決小題可以，但解答題需慎用.

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四、借用兩曲線的公切線，突破含參函數零點的討論

【評注】兩條曲線相切，其關鍵點是兩曲線在相切處導數值相等、函數值也相等.

五、妙用切線為橋梁，轉換思想求距離

【簡解】由直線的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交，設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0，

令方程(*)中的判別式Δ=64k2-4×25(k2-225)=0，解得k1=25,k2=-25.

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【評注】由例題5和變式練習題3可知，對于求解曲線上一點到直線的最短距離問題，如果僅僅是利用導數處理最值，可能會遇到計算困難.巧妙借助切線，從幾何和代數相結合的角度，避免繁雜計算，自然轉化成點到直線距離問題，易懂易操作.特別是兩條不相交曲線間的最短距離，首先應該關注兩曲線是否對稱，借助對稱軸橋梁，處理距離最值.

廣東省華南師范大學附屬中學汕尾學校)