概率易錯解 根源找出來

安徽 華騰飛

概率易錯解 根源找出來

安徽 華騰飛

概率是中學數學的重要知識點，也是各地高考的考點，同時更是同學們的易錯點．為了減少同學們求解此類問題的出錯率，提高解題技能與技巧，下面就同學們容易出現的典型錯解舉例剖析，希望能夠引起同學們的高度注意．

一、將“非等可能”與“等可能”混同致錯

例1將一枚硬幣連擲三次，出現“2個正面1個反面”的概率是多少？

剖析錯解1錯在事件“3正、2正一反、1正2反、3反”不是等可能事件．事實上，一枚硬幣連擲三次有8種等可能事件：(正、正、正)、(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)、(正、反、反)、(反、正、反)、(反、反、正)、(反、反、反)．錯解2錯在“2正1反”并不是一種結果，而是三種結果：(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)．

二、將“互斥”與“獨立”混同致錯

例2某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第一聲時被接的概率為0.1，響第二聲時被接的概率為0.3，響第三聲時被接的概率為0.4，響第四聲時被接的概率為0.1，那么電話在響前四聲內被接的概率是多少？

錯解設電話響第一聲時被接的概率為P(A1)=0.1；電話響第二聲時被接的概率為P(A2)=0.3；電話響第三聲時被接的概率為P(A3)=0.4；電話響第四聲時被接的概率為P(A4)=0.1．所以電話在響前四聲時被接的概率為

P=P(A1)·P(A2)·P(A3)·P(A4)=0.1×0.3×0.4×0.1=0.001 2．

剖析上述錯解的原因在于把互斥事件當成相互獨立同時發生的事件來考慮．根據實際生活經驗，電話在響前四聲內，響每一聲時是否被接彼此互斥．

正解P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．

例3兩個籃球運動員在罰球線投球的命中率分別是0.7和0.6，每人投球3次，試計算兩人都恰好投進2球的概率．

錯解設“甲恰好投進2球”為事件A，“乙恰好投進2球”為事件B，則兩人都恰好投進兩球為A+B．故此可得，

剖析上述錯解的原因在于將相互獨立同時發生的事件當成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2球理解為“甲恰好投中2球”與“乙恰好投中2球”的和．

三、將“互斥”與“對立”混同致錯

例4從裝有2個紅球與2個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是

( )

A.至少有1個白球與都是白球

B.至少有1個白球與至少有一個紅球

C.恰有1個白球與恰有2個白球

D.至少有1個白球與都是紅球

錯解選B．

剖析上述錯解的原因在于把“互斥”與“對立”混為一談，要準確地解答此類問題，應弄清楚對立事件與互斥事件的聯系與區別，表現在以下三個方面：

(1)兩事件對立，必定互斥，但互斥事件未必對立；

(2)互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；

(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以不發生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生．

正解選項A，B中兩事件不互斥，當然也不對立；選項C中兩事件互斥但不對立；選項D中兩事件不僅互斥而且對立．故選C．

四、將“有序”與“無序”混同致錯

例5從10件產品(其中次品3件)中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率．

錯解因為第一次取有10種取法，第二次取有9種取法，第三次取有8種取法，第四次取有7種取法，則由乘法原理可知，從10件中取出4件，共有10×9×8×7種取法，故樣本空間S含有10×9×8×7個基本事件．

剖析計算樣本空間S所含基本事件的個數是用排列的方法，即考慮了抽取的順序，而計算事件A所包含的基本事件個數時是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序．

正解(1)用排列的方法

(2)用組合的方法

五、將“放回”與“不放回”混同致錯

例6 一個袋中裝有4個黑球、1個白球，現從袋中每次摸出一球，然后再放回袋中，求第3次摸球時首次摸到白球的概率．

剖析上述錯解將有放回問題當成無放回問題來處理．有放回相當于做重復試驗，其他條件完全相同；無放回則是做不同的試驗，即后一次試驗與前一次試驗的條件不同，是在新的標準下進行的．由于兩種情況的結果不一樣，所以混淆會導致錯誤的發生．

安徽省靈璧縣黃灣中學)