“超級全能生”2018高考全國卷26省9月聯考乙卷(A)

“超級全能生”2018高考全國卷26省9月聯考乙卷(A)

理科數學

一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|y=log2(4-x)},B={x|x2-2x-3gt;0},則A∩B=

( )

A.(3,4) B.(-∞,-1)

C.(-∞,4) D.(3,4)∪(-∞,-1)

( )

3.下列說法正確的是

( )

A.命題“若x2-3x-4=0,則x=4.”的否命題是“若x2-3x-4=0,則x≠4.”

B.agt;0是函數y=xa在定義域上單調遞增的充分不必要條件

C.?x0∈(-∞,0),3x0lt;4x0

D.若命題P:?n∈N,3ngt;500,則┐P:?n0∈N,3n0≤500

4.《九章算術》是中國古代的數學專著,其中的一段話“可半者半之,不可半者,副置分母、子之數,以少減多,更相減損,求其等也,以等數約之.”用程序框圖表示如圖,那么這個程序的作用是

( )

A.求兩個正數a,b的最小公倍數

B.求兩個正數a,b的最大公約數

C.判斷其中一個正數是否能被另一個正數整除

D.判斷兩個正數a,b是否相等

( )

A.a+b=2cB.a+blt;2c

C.a+b≤2cD.a+b≥2c

( )

A.16 B.12 C.8 D.-4

7.學校為了獎勵數學競賽中獲獎的優秀學生,將梅、蘭、竹、菊四幅名畫送給獲獎的甲、乙、丙三位學生,每個學生至少獲得一幅,則在所有送法中甲得到名畫“竹”的概率是

( )

8.一個幾何體的三視圖如圖所示,則其表面積為

( )

( )

10.若正四棱錐P-ABCD內接于球O,且底面ABCD過球心O,設正四棱錐P-ABCD的高為1,則球O的體積為

( )

( )

( )

二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.

16.若存在實數a∈R，使得關于x的不等式x|x-a|lt;b在[1,2]上恒成立,則實數b的取值范圍是________.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)設bn=2n·an,求數列{bn}的前n項和Tn.

18.(12分)

如圖1,四邊形ABCD為等腰梯形,AB=2,AD=DC=CB=1,將△ADC沿AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,E為AB的中點,連接DE，DB.

(Ⅰ)求證：BC⊥AD；

(Ⅱ)求直線DE與平面BCD所成的角的正弦值.

19.(12分)

某研究小組為了研究某品牌智能手機在正常使用情況下的電池供電時間,分別從該品牌手機的甲、乙兩種型號中各選取6部進行測試,其結果如下：

甲種手機供電時間(小時)191821222320乙種手機供電時間(小時)1817．520232222．5

(Ⅰ)求甲、乙兩種手機供電時間的平均值與方差,并判斷哪種手機電池質量好；

(Ⅱ)為了進一步研究乙種手機的電池性能,從上述6部乙種手機中隨機抽取4部,記所抽4部手機供電時間不小于20小時的個數為X,求X的分布列和數學期望.

20.(12分)

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)直線l：y=x+m與E相交于A,B兩點,在y軸上是否存在點C,使△ABC為正三角形,若存在,求直線l的方程；若不存在,請說明理由.

21.(12分)

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分,作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.

22.[選修4-4：坐標系與參數方程](10分)

(Ⅰ)求圓C的極坐標方程；

(Ⅱ)若P為圓C上的一動點,求|PA|2+|PB|2的取值范圍.

23.[選修4-5：不等式選講](10分)

已知函數f(x)=|2x-1|+|x-2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；

【參考答案】

1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D

17.解：(Ⅰ)設數列{an}的前n項和為Sn.

(1分)

當n≥2時，4Sn=(an+1)2，∴4Sn-1=(an-1+1)2，

即(an+an-1)(an-an-1-2)=0，

(4分)

又angt;0，∴an-an-1=2，

∴數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，

即an=2n-1.

(6分)

(Ⅱ)∵bn=(2n-1)·2n，

∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n， ①

2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1， ②

(8分)

①-②得

-Tn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1

=2-8+2n+2-(2n-1)×2n+1

=-6+2n+1(2-2n+1)

=-6+2n+1(3-2n)，

∴Tn=6+2n+1(2n-3).

(12分)

18.解：(Ⅰ)證明：在圖1中，作CH⊥AB于點H，

圖1

∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面ADC，

(6分)

(Ⅱ)取AC的中點F，連接DF，FE，易得FA，FE，FD兩兩垂直，

以FA，FE，FD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖2所示，

圖2

設m=(x，y，z)為平面BCD的法向量，

設直線DE與平面BCD所成的角為θ，

(12分)

因為甲、乙兩種手機的平均數相同，甲的方差比乙的方差小，所以認為甲種手機電池質量更好.

(6分)

(Ⅱ)6部乙種手機供電時間不小于20小時的有4部，小于 20小時的有2部，

所以X的可能取值為2，3，4，則

故X的分布列為

X234P25815115

(12分)

(4分)

(Ⅱ)存在.把y=x+m代入E的方程得3x2+4mx+2m2-4=0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(7分)

設AB的中點為P，

(12分)

21.解：(Ⅰ)f′(x)=a+1+lnx(xgt;0)，

由f′(x)gt;0，得xgt;e-a-1，由f′(x)lt;0，得0lt;xlt;e-a-1，

∴f(x)在(0，e-a-1)上單調遞減，在(e-a-1，+∞)上單調遞增.

(3分)

∴f(x)min=f(e-a-1)=e-a-1(a+lne-a-1)

∴a=0.

(5分)

(Ⅱ)證明：當agt;0，xgt;0時，

(8分)

由g′(x)gt;0，得0lt;xlt;1，由g′(x)lt;0，得xgt;1，

∴g(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減.

(12分)

22.解：(Ⅰ)把圓C的參數方程化為普通方程為(x-2)2+(y-2)2=2，

即x2+y2-4x-4y+6=0，

由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

得圓C的極坐標方程為ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0.

(5分)

A，B的直角坐標分別為(-1，0)，(1，0)，

所以|PA|2+|PB|2的取值范圍為[6，38].

(10分)

其圖象如圖所示，

由圖可知f(x)≥3的解集為{x|x≤0或x≥2}.

(5分)

(10分)