突破探究性問題的幾種有效策略

四川 蔡勇全 趙菊英

突破探究性問題的幾種有效策略

四川 蔡勇全 趙菊英

探究性問題是運用已有知識，利用觀察、試驗、聯想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等手段，對問題進行探索和研究的一類問題，其立意具有新穎性，思維具有發散性，解法具有探索性，結論具有多元性，因而備受各級各類考試命題者的青睞.本文借助實例，介紹突破探究性問題的幾種有效策略，旨在探索題型規律，揭示解題方法，以期拋磚引玉.

一、特值探路法

當我們面臨一道難以入手的一般性題目時，不妨以退為進，退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，即對題設條件取某些特殊值，然后探求出結論或滿足結論所需要的某些條件，并予以驗證或證明.

例1已知不等式a(4-sinθ)4+cos2θ-3+agt;0對一切θ∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

評注特值探路法實質上是特殊化思想在解題中的體現，先行運用特值試探可以將繁雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，就像在大海里航行的船只發現了航線中的燈塔，能使人準確定位,快速答題，高效且省時省力.

二、觀察猜想法

當題目中給出幾個具體的關系式，要求寫出一般性規律或后續某一項的具體形式或結果，可通過觀察、分析，進而發現或猜測得到結果，必要時還應按要求對猜測結論進行證明.

例2給出下列等式:

①cos2α=2cos2α-1；

②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；

③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；

④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；

⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以得出，m-n+p=________.

解析下面通過觀察各等式中各項系數的變化規律，作出猜想.

(1)先觀察各等式右邊的首項系數:2=21，8=23，32=25，128=27，猜想m=29=512；

(2)再觀察各等式倒數第2項的系數:2=12+12，-8=-(22+22)，18=32+32，-32=-(42+42)，猜想n=52+52=50.

(3)最后觀察各行右邊各項系數之和:2-1=1，8-8+1=1，32-48+18-1=1，128-256+160-32+1=1，猜想⑤中應有512-1280+1120+50+p-1=1，得p=-400.

綜上所述，m-n+p=512-(-400)+50=962.

變式觀察下列各式:

……

提示下面通過觀察各等式中n的取值與等式右邊指數的變化規律，作出猜想.

第一個等式中，n=1，右邊式子為40=41-1；

第二個等式中，n=2，右邊式子為41=42-1；

第三個等式中，n=3，右邊式子為42=43-1；

Woodruff顧客價值層次模型認為顧客感知價值具有3個不同層次，即基于產品屬性的價值感知，基于使用結果的價值感知與基于使用目的的價值感知，3種價值感知之間存在層次影響關系，且具有“自上而下”與“自下而上”兩種影響關系，“自下而上”主要應用于對產品屬性的完善以達到消費者使用結果，從而強化消費者的需求[18]853。本文主要對“自下而上”即“屬性-結果-目的”層次關系進行實證研究，并且基于游客感知視角，依據感知價值層次模型的關聯程度提供完善鄉村旅游地游客中心的功能的對策。

第四個等式中，n=4，右邊式子為43=44-1；

……

猜想，第n個等式的右邊為4n-1.

評注此類問題有效地考查了學生由特殊到一般的歸納推理能力，解題時，能否完成歸納，關鍵在于能否通過觀察、抽象、概括出隱藏在現象背后的規律.

三、逆推判斷法

當題目中要求判斷在某些確定條件下的某一數學對象(數值、圖形、函數等)是否存在或某一結論是否成立時，可采用逆推的策略，即先假設題中的數學對象存在或結論成立或暫且認可其中一部分結論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論的證明.

(Ⅰ)令bn=an+1-an-1，求證:數列{bn}是等比數列；

(Ⅱ)求數列{an}的通項公式；

評注上例及其變式分別是從某一數學對象最終存在、不存在兩個角度進行設計，值得一提的是，逆推時，常見的數學對象不存在的依據可能是導出了常識性的錯誤，也可能是導出了知識深度性錯誤，所以解題策略應往這兩方面考慮.

四、分類整合法

在探究性問題中，由于參數的變化或元素的位置關系可能有多種情況發生，因此往往需要用分類整合的方法進行探索或排除，恰當地進行分類整合，可避免以偏概全，防止丟值漏解.

例4已知{an}為正項等差數列，{bn}為正項等比數列，是否存在實常數a，使an-a1=logabn-logab1對一切n∈N*恒成立？若存在，求出a；若不存在，請說明理由.

變式已知數列{an}的通項公式為an=ntn+t(tgt;0)，數列{an}是否存在最大的項？若存在，指出是第幾項最大；若不存在，請說明理由.

提示an-an+1=ntn-(n+1)tn+1=tn[n(1-t)-t].

(1)當t≥1時，易知an-an+1lt;0，即a1lt;a2lt;a3lt;…，所以數列{an}不存在最大項；

五、聯想類比法

當題目中事先給出某一數學對象的性質或特征，要求指出與該數學對象處于同一體系內或不同維度下另一種數學對象的性質或特征，解決此類問題，常需進行類比、分析、聯想，或構造數學模型，或將問題從低維推廣到高維，最終給出具體答案或得出新的結論.

試對空間中的四面體V-BCD寫出具有類似的結論，并加以證明.

四川省資陽市外國語實驗學校 四川省資陽市雁江區第二中學)