拋開線性規(guī)劃，不等式運(yùn)算搞定

江蘇 王安寓

拋開線性規(guī)劃，不等式運(yùn)算搞定

江蘇 王安寓

有一些函數(shù)題目，往往易于聯(lián)想到運(yùn)用線性規(guī)劃知識方法求解，殊不知，有些題目不是考查線性規(guī)劃的，而是考查不等式運(yùn)算的．如果運(yùn)用線性規(guī)劃求解，那么，費(fèi)時(shí)費(fèi)力不說，還有可能求解不出，或因運(yùn)算過程復(fù)雜而致錯(cuò)．以線性規(guī)劃的樣子呈現(xiàn)，并不意味著讓你運(yùn)用線性規(guī)劃知識求解．首先，條件簡單翻譯后是不等式組(或者條件直接就是不等式組)，不等式組本身就是不等式，何不用不等式運(yùn)算求解？其次，不等式運(yùn)算包括：①不等式的定義；②不等式的性質(zhì)；③基本不等式或柯西不等式等公式．

一、巧妙換元，分離參數(shù)，不等運(yùn)算，各個(gè)擊破

分析：我們注意到a，b與x是兩組自由的量，因此我們可以分開處理．通過換元，將這種關(guān)系顯化．

∴a-2b=t∈[0，1]．

評注：本題極易想到用線性規(guī)劃求解，這樣做勢必會造成運(yùn)算量的大大增加(要討論要轉(zhuǎn)化為不等式組要畫圖要識圖)．該解析采用的是各個(gè)擊破的策略．先解決s，再解決u．解題既有層次性，又不互相干擾．這是計(jì)算策略的選擇對解題過程的影響．這樣就達(dá)到了小題少算，小題巧做的目的．但是這需要平時(shí)解題時(shí)進(jìn)行解題后的反思，提高認(rèn)識，從中感悟．這樣才能在應(yīng)試中巧法妙算應(yīng)運(yùn)而生，信手拈來．

二、變換主元，比例相等，構(gòu)建方程，回代求解

【題目2】(2017·南通二模·14)已知對任意的x∈R，3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3(a,b∈R)恒成立，則當(dāng)a+b取得最小值時(shí)，a的值為________．

分析一：將目標(biāo)與條件結(jié)合，可視條件為a，b的不等式，而目標(biāo)也是關(guān)于a，b的不等式，可以認(rèn)為條件與目標(biāo)之間存在倍數(shù)關(guān)系，由此引入比例得方程，得解t，再回代求得a+b的最值及取得最值時(shí)a，b的值．

解析一：

條件化為3at+2b(t2-1)≤3，①

令a+b=-2，得b=-a-2，

代入①式得2(-a-2)t2+3at+(2a+1)≤0，

∵方程2(-a-2)t2+3at+(2a+1)=0有一根

∴(2t+1)[(-a-2)t+(2a+1)]≤0恒成立，

評注：解析一是小題巧做，是目標(biāo)意識的具體體現(xiàn)．解題要先明確解題目標(biāo)，再尋求實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的方向和合適的解題步驟的過程．解題的關(guān)鍵步驟是：(1)視a，b為主元；(2)條件與目標(biāo)整合，由系數(shù)成比例構(gòu)造方程．解析一脫離x，研究a，b，得到的是直線或二元不等式．

分析二：方法一由a+b的最小值求a時(shí)回代，驗(yàn)證恒成立，計(jì)算稍顯繁瑣．實(shí)際上，二次函數(shù)最小值的取得往往在對稱軸處，因此，可簡化計(jì)算．

條件化為3at+2b(t2-1)≤3，

評注：解析二是解析一的改進(jìn)，區(qū)別在于a+b取最小值時(shí)，a，b的值的求法不同．解析一是通過回代、不等式與方程的關(guān)系、完全平方的非負(fù)性；解析二是對稱軸、最小值構(gòu)建方程組．解析一是逐步消元(蠶食)，解析二是聯(lián)立方程組(吞棗)．

【變式1】設(shè)函數(shù)f(x)=2ax2+bx-3a+1．當(dāng)x∈[-4，4]時(shí)，f(x)≥0恒成立，則5a+b的最小值是________．

【變式2】(2009·北約自主招生)已知對x∈R，acosx+bcos2x≥-1恒成立，求a+b的最大值．

三、適當(dāng)分離，函數(shù)位置，比例截距，識圖運(yùn)算

通過上述解析，我們看到：目標(biāo)的合理確定對運(yùn)算的途徑設(shè)計(jì)有很大的影響，一個(gè)合理的運(yùn)算不僅要求運(yùn)算正確，而且要求運(yùn)算過程中的每一步都有依據(jù)，要合乎算理．

四、導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移，不等運(yùn)算，基本公式，和積互化

( )

A.16 B.18

分析：函數(shù)單調(diào)性往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的符號判定，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式組，但不要用線性規(guī)劃，目標(biāo)是求乘積的最大值，這與基本不等式有關(guān)，因此要考慮條件中的和，進(jìn)而運(yùn)用基本不等式求解．

∴f′(x)≤0，

∵m≥0，n≥0，∴0≤m≤6．

當(dāng)2lt;m≤6時(shí)，由②得2m+n≤12，

當(dāng)且僅當(dāng)m=3，n=6時(shí)取等號．

當(dāng)0≤mlt;2時(shí)，由①得m+2n-18≤0，

綜上mn的最大值為18，當(dāng)且僅當(dāng)m=3，n=6時(shí)取得最大值．

評注：待求目標(biāo)的幾何意義不明顯，但是其形式顯然——兩個(gè)正數(shù)的積，應(yīng)與兩個(gè)正數(shù)的和相關(guān)．因此，該解法才是最本質(zhì)的求解方法，而不用線性規(guī)劃．

五、形式線性，實(shí)質(zhì)不等，不等運(yùn)算，輕松最值

解析：∵x-y-1lt;0，∴xlt;y+1．

此時(shí)不可能達(dá)到最大值；

∵4x-y-3≥0，∴4x-y-1≥2．

評注：這種方法涉及的都是基礎(chǔ)知識(基本的不等式運(yùn)算和兩個(gè)正數(shù)的均值公式)，一點(diǎn)也不超綱．看到不等式組的條件，就一定用線性規(guī)劃嗎？思維不能僵化．要用慧眼識別霧中花，基礎(chǔ)知識搞定它．

江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級中學(xué))