由一個考題得到的球內接幾何體的公式化計算

云南 楊相元

由一個考題得到的球內接幾何體的公式化計算

云南 楊相元

球內接幾何體的相關計算是考查學生空間想象能力、作圖能力和計算能力的有效載體，是最近幾年全國高考卷的核心考點，其基本解法是通過補形，連接“心心距”構造直角三角形和建系等，本文通過一個?？碱}的深入分析得出解決此類問題的公式化計算解決方案.

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A．3π B．5π

C．9π D．12π

【解析】如圖，在三棱錐A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，

設高A1A=h，△ABC為邊長a的正三角形，

過球心O作OK⊥A1A于點K，

于是在Rt△OKA1中，

所以在Rt△OO1A中，

探究：將題中的三棱錐改為“三棱柱A1B1C1-ABC中,A1A⊥底面ABC，底面ABC是正三角形”.

如圖，設AA1=h，△ABC的邊長為a，由重心定理易知

類似，若將題中的錐體進一步更改，通過補形、構造直角三角形等手段(讀者可自行完成)可得如下結論：

【解析】由公式②得

【解析】由公式③得

所以S=4π×42=64π.

【變式3】在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1垂直底面，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，且三棱柱ABC-A1B1C1的體積為3，則三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面積為________.

所以S=4π×22=16π.

【變式4】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為

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【變式5】(2013·遼寧卷理·10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3，AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為

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【解析】由公式⑥得

云南省下關第一中學)